1. Zadatak

Dana jednadžba prelazi u ekvivalentan oblik $$9^x+9p^2=3^x.$$ Supstitucijom $y=3^x>0$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $y^2-y+9p^2=0$, čija rješenja su $$y_1=\frac{1-\sqrt{1-36p^2}}2,\qquad y_2=\frac{1+\sqrt{1-36p^2}}2.$$ Da bi rješenja bila realna i različita, mora njezina diskriminanta $D=1-36p^2$ biti pozitivna, tj. $$-\frac16<p<\frac16.$$ Očito je $y_2>0$. Da bi bilo $y_1>0$ treba biti $p\ne0$.

Dakle, za svako $p\in\left\langle-\frac16,\frac16\right\rangle\setminus\{0\}$ polazna jednadžba ima dva različita rješenja.