5. Zadatak

Neka je polumjer krnjem stošcu upisane kugle jednak $\rho$, a polumjeri njegovih osnovki su $R$ i $r$. Tada je zbroj oplošja svih triju kugala jednak $$S=4\pi(R^2+\rho^2+r^2).\qquad(1)$$ Osni presjek krnjeg stošca je tangencijalni, jednakokračni trapez čija je srednjica (ujedno i izvodnica stošca) jednaka $$s=\frac{2R+2r}2=R+r.\qquad(2)$$

Visinu krnjeg stošca $2\rho$ dobijemo iz pravokutnog trokuta čije su katete $R+r$ i $R-r$: $$(2\rho)^2=(R+r)^2-(R-r)^2=4Rr.$$ Odavde dobivamo $$\rho^2=Rr.\qquad(3)$$ Iz (1) i (3) imamo $$S=4\pi(R^2+Rr+r^2).$$ Oplošje krnjeg stošca je zbroj površina osnovki i plašta: $$O=R^2\pi+r^2\pi+(R+r)\cdot\pi s.$$ Iz (2) dobivamo $$O=2\pi(R^2+Rr+r^2)=\frac S2.$$