4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, $r=|z|$, $\varphi\in\left\langle\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right\rangle$.

Kako je

$$|z+iz|=|z(1+i)|=|z|\cdot|1+i|=r\cdot\sqrt2=2,$$

zaključujemo da je $r=\sqrt2$.

Nadalje, $z^4=r^4(\cos4\varphi+i\sin4\varphi)$, te je $\operatorname{Re}(z^4)=r^4\cos4\varphi=-2$.

Uvrštavanjem $r=\sqrt2$ u $r^4\cos4\varphi=-2$ dobivamo $\cos4\varphi=-\dfrac12$ odakle zaključujemo da je

$$4\varphi=\pm\frac{2\pi}{3}+k\cdot2\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$

odnosno da je

$$\varphi=\pm\frac\pi6+k\cdot\frac\pi2,\quad k\in\mathbb Z.$$

Uvrštavanjem $k\in\mathbb Z$ i uvažavanjem činjenice da je $\varphi\in\left\langle\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right\rangle$ zaključujemo da je

$$\varphi=\frac{5\pi}{3}\quad\text{ili}\quad\varphi=\frac{11\pi}{6}.$$

Dakle, tražena rješenja su:

$$z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=\sqrt2\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6}{2},$$ $$z_2=\sqrt2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt3}{2}-i\frac12\right)=\frac{\sqrt6}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $z=x+yi$, $x,y\in\mathbb R$. Kako je $\dfrac{3\pi}{2}<\arg(z)<2\pi$, zaključujemo da je $x>0$ i $y<0$.

Kako je

$$|z+iz|=|x+yi+xi-y|=\sqrt{(x-y)^2+(x+y)^2}$$

i $|z+iz|=2$ dobivamo da je $(x-y)^2+(x+y)^2=4$, odnosno $x^2+y^2=2$.

Primjenom binomne formule dobivamo da je

$$z^4=x^4+4x^3yi-6x^2y^2-4xy^3i+y^4,$$

a kako je $\operatorname{Re}(z^4)=-2$ zaključujemo da je $x^4-6x^2y^2+y^4=-2$.

Dakle, treba riješiti sustav jednadžbi:

$$\begin{cases} x^4-6x^2y^2+y^4=-2,\\ x^2+y^2=2. \end{cases}$$

Zapišemo li prvu jednadžbu u obliku $(x^2+y^2)^2-8x^2y^2=-2$, tada uvrštavanjem $x^2+y^2=2$ dobivamo da je $4-8x^2y^2=-2$, odnosno $x^2y^2=\dfrac34$.

Dakle, $x^2$ i $y^2$ rješenja su kvadratne jednadžbe

$$t^2-2t+\frac34=0.$$

Kako kvadratna jednadžba ima rješenja $t_1=\dfrac32$ i $t_2=\dfrac12$ zaključujemo da su

$$x,y\in\left\{\pm\frac{\sqrt6}{2},\pm\frac{\sqrt2}{2}\right\}.$$

Konačno kako vrijedi da je $x>0$ i $y<0$ dobivamo rješenja:

$$z_1=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6}{2}\qquad\text{i}\qquad z_2=\frac{\sqrt6}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$