2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo prvih $n\geq1$ članova niza:

$$x_1=1$$ $$x_2=x_1+2\cdot1+1$$ $$x_3=x_2+2\cdot2+1$$ $$\vdots$$ $$x_n=x_{n-1}+2\cdot(n-1)+1.$$

Zbrajanjem gornjih jednakosti dobivamo

$$x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n-1}+x_n=x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}+2\cdot(1+2+\cdots+(n-1))+n\cdot1.$$

Slijedi redom

$$x_n=2\cdot(1+2+\cdots+(n-1))+n\cdot1,$$

odnosno

$$x_n=2\cdot\frac{(n-1)n}{2}+n,$$

odakle sređivanjem zaključujemo da je $x_n=n^2$.

Dakle, traženi član iznosi $x_{2023}=2023^2$.

Drugo rješenje.

Izračunajmo prvih nekoliko članova niza:

$$x_1=1$$ $$x_2=x_1+2\cdot1+1=1+2+1=4$$ $$x_3=x_2+2\cdot2+1=4+4+1=9$$ $$x_4=x_3+2\cdot3+1=9+6+1=16$$ $$\vdots$$

Tvrdimo da je $x_n=n^2$.

Dokažimo matematičkom indukcijom da ova tvrdnja vrijedi za sve $n\in\mathbb N$.

Za $n=1$ je $x_1=1=1^2$ pa je baza indukcije ispunjena.

Pretpostavimo da tvrdnja $T_n:x_n=n^2$ vrijedi za neki $n\in\mathbb N$.

Pokažimo da tada vrijedi i $T_{n+1}$:

$$x_{n+1}=x_n+2n+1.$$

Kako je prema pretpostavci $x_n=n^2$, slijedi da je

$$x_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2$$

što znači da vrijedi $T_{n+1}$.

Budući da tvrdnja $T_n$ vrijedi za $n=1$ i $T_n\Rightarrow T_{n+1}$, tvrdnja vrijedi za sve $n\in\mathbb N$.

Konačno, traženi je član $x_{2023}=2023^2$.