6. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako tražene točke leže na pravcu $x-y+5=0$, tada su njihove koordinate $P(x,x+5)$, $x\in\mathbb R$.

Moguća su tri slučaja.

1. slučaj Trokut $MNP$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $P$.

Tada je $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=0$.

Kako je

$$\overrightarrow{PM}=(2-x)\vec i+(-10-x)\vec j$$

i

$$\overrightarrow{PN}=(-6-x)\vec i+(2-x)\vec j$$

dobivamo jednadžbu

$$(2-x)(-6-x)+(-10-x)(2-x)=0,$$

tj. kvadratnu jednadžbu $x^2+6x-16=0$ čija su rješenja $x_1=2$ i $x_2=-8$.

Dakle, tražene točke su $P_1(2,7)$ i $P_2(-8,-3)$.

2. slučaj Trokut $MNP$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $M$.

Tada je $\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}=0$, a kako je

$$\overrightarrow{MP}=(x-2)\vec i+(x+10)\vec j$$

i

$$\overrightarrow{MN}=-8\vec i+12\vec j$$

dobivamo jednadžbu $-8(x-2)+12(x+10)=0$ čije je rješenje $x=-34$.

Dakle, točka $P$ ima koordinate $P(-34,-29)$.

3. slučaj Trokut $MNP$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $N$.

Tada je $\overrightarrow{NP}\cdot\overrightarrow{NM}=0$, a kako je

$$\overrightarrow{NP}=(x+6)\vec i+(x-2)\vec j$$

i

$$\overrightarrow{NM}=8\vec i-12\vec j$$

dobivamo jednadžbu $8(x+6)-12(x-2)=0$ čije je rješenje $x=18$.

Dakle, točka $P$ ima koordinate $P(18,23)$.

Dakle, imamo četiri moguća rješenja: $P(2,7)$, $P(-8,-3)$, $P(-34,-29)$, $P(18,23)$.

Drugo rješenje.

Zadatak možemo riješiti koristeći Pitagorin poučak, tako da u svakom od slučajeva umjesto činjenice da je skalarni produkt jednak nuli, koristimo činjenicu da je zbroj kvadrata duljina odgovarajućih kateta jednak kvadratu duljine hipotenuze.

Kako tražene točke leže na pravcu $x-y+5=0$, tada su njihove koordinate $P(x,x+5)$, $x\in\mathbb R$.

Moguća su tri slučaja.

1. slučaj Ako je $MNP$ pravokutan trokut s pravim kutom pri točki $P$ tada vrijedi

$$|MN|^2=|PM|^2+|PN|^2.$$

Korištenjem formule za udaljenost točaka dobivamo da vrijedi

$$(-6-2)^2+(7+5)^2=(x-2)^2+(x+10)^2+(x+6)^2+(x-2)^2,$$

odakle sređivanjem dobivamo kvadratnu jednadžbu $x^2+6x-16=0$ čija su rješenja $x_1=2$ i $x_2=-8$.

Dakle, tražene točke su $P_1(2,7)$ i $P_2(-8,-3)$.

2. slučaj Ako je $MNP$ pravokutan trokut s pravim kutom pri točki $M$ tada vrijedi

$$|PN|^2=|MN|^2+|PM|^2.$$

Korištenjem formule za udaljenost točaka dobivamo jednadžbu

$$(x+6)^2+(x-2)^2=(-6-2)^2+(7+5)^2+(x-2)^2+(x+10)^2,$$

čijim rješavanjem nalazimo da je $x=-34$.

Dakle, točka $P$ ima koordinate $P(-34,-29)$.

3. slučaj Ako je $MNP$ pravokutan trokut s pravim kutom pri točki $N$ tada vrijedi

$$|PM|^2=|MN|^2+|PN|^2.$$

Korištenjem formule za udaljenost točaka dobivamo jednadžbu

$$(x-2)^2+(x+10)^2=(-6-2)^2+(7+5)^2+(x+6)^2+(x-2)^2,$$

iz koje nalazimo da je $x=18$.

Dakle, točka $P$ ima koordinate $P(18,23)$.

Dakle, imamo četiri moguća rješenja: $P(2,7)$, $P(-8,-3)$, $P(-34,-29)$, $P(18,23)$.

Treće rješenje.

Slike su kao i u prvom rješenju.

Kako tražene točke leže na pravcu $x-y+5=0$, tada su njihove koordinate $P(x,x+5)$, $x\in\mathbb R$.

1. slučaj Trokut $MNP$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $P$.

Koeficijent smjera pravca na kojem leže točke $P$ i $N$ jednak je

$$k_{PN}=\frac{x-2}{x+6}.$$

Nadalje, koeficijent smjera pravca na kojem leže točke $P$ i $M$ jednak je

$$k_{PM}=\frac{x+10}{x-2}.$$

Kako su ti pravci međusobno okomiti vrijedi da je $k_{PN}=-\dfrac1{k_{PM}}$, odakle dobivamo jednadžbu

$$\frac{x-2}{x+6}=-\frac1{\frac{x+10}{x-2}},$$

tj.

$$\frac{x-2}{x+6}=-\frac{x-2}{x+10}.$$

Daljnjim sređivanjem konačno dobivamo $(x-2)(2x+16)=0$.

Rješenja dobivene jednadžbe su $x_1=2$ i $x_2=-8$.

Dakle, tražene točke su $P_1(2,7)$ i $P_2(-8,-3)$.

2. slučaj Trokut $MNP$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $M$.

Koeficijent smjera pravca na kojem leže točke $M$ i $N$ jednak je $k_{MN}=-\dfrac32$. Koeficijent smjera pravca na kojem leže točke $M$ i $P$ jednak je $k_{PM}=\dfrac{x+10}{x-2}$.

Kako su ti pravci međusobno okomiti vrijedi da je $k_{MN}\cdot k_{PM}=-1$, odakle dobivamo jednadžbu

$$\frac{x+10}{x-2}\cdot\left(-\frac32\right)=-1,$$

čije je rješenje $x=-34$.

Dakle, tražena točka je $P(-34,-29)$.

3. slučaj Trokut $MNP$ je pravokutan s pravim kutom pri točki $N$.

Koeficijent smjera pravca na kojem leže točke $M$ i $N$ jednak je $k_{MN}=-\dfrac32$. Koeficijent smjera pravca na kojem leže točke $N$ i $P$ jednak je $k_{NP}=\dfrac{x-2}{x+6}$.

Kako su ti pravci međusobno okomiti tada je $k_{MN}\cdot k_{NP}=-1$, odakle dobivamo jednadžbu

$$\frac{x-2}{x+6}\cdot\left(-\frac32\right)=-1,$$

čije je rješenje $x=18$.

Dakle, tražena točka je $P(18,23)$.

Dakle, imamo četiri moguća rješenja: $P(2,7)$, $P(-8,-3)$, $P(-34,-29)$, $P(18,23)$.