3. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj $1$ mora biti na prvom mjestu iz čega proizlazi da postoji $1001$ broj s opisanim svojstvom.

Te brojeve možemo zbrojiti potpisujući jedan ispod drugog:

$$\begin{array}{r} 1100000\ldots00\\ 1010000\ldots00\\ 1001000\ldots00\\ 1000100\ldots00\\ \vdots\\ 1000000\ldots10\\ +1000000\ldots01 \end{array}$$

Tada je

$$S=1001\cdot10^{1001}+\underbrace{111\ldots11}_{1001\text{ jedinica}}=100\underbrace{1111\ldots11}_{1002\text{ jedinice}}.$$

Broj $S$ ima $1003$ jedinice pa je zbroj svih njegovih znamenki jednak $1003$.

Broj $S$ pri dijeljenju s $3$ ima isti ostatak kao i njegov zbroj znamenki, broj $1003$, a to je $1$.

Drugo rješenje.

Broj $1$ mora biti na prvom mjestu iz čega proizlazi da postoji $1001$ broj s opisanim svojstvom.

Kod svakog od tih $1001$ brojeva druga znamenka jednaka $1$ će se nalaziti na različitom težinskom mjestu.

Dakle, zbroj svih $1002$-znamenkastih brojeva koji u svom zapisu imaju tisuću nula i dvije jedinice jednak je:

$$S=1001\cdot10^{1001}+(10^{1000}+10^{999}+\cdots+10+1)$$ $$=1001\cdot10^{1001}+\frac{10^{1001}-1}{10-1}=1001\cdot10^{1001}+\frac{\underbrace{999\ldots99}_{1001\text{ znamenka }9}}{9}$$ $$=1001\cdot10^{1001}+\underbrace{111\ldots11}_{1001\text{ jedinica}}.$$ $$100\underbrace{1111\ldots11}_{1002\text{ jedinice}}=10^{1004}+\underbrace{111\ldots11}_{1002\text{ jedinice}}.$$

Broj $\underbrace{111\ldots11}_{1002\text{ jedinice}}$ djeljiv je s $3$ jer mu je zbroj znamenki djeljiv s $3$ pa broj $S$ možemo zapisati kao

$$S=10^{1004}+3k=3\cdot\underbrace{33\ldots3}_{1004\text{ trojki}}+3k+1.$$

Dakle, broj $S$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$.