5. Zadatak

Prvo rješenje.

Svaki prirodni broj možemo zapisati u obliku $n=4k+\ell$ gdje je $\ell\in\{0,1,2,3\}$, $k\in\mathbb{N}_0$. Tada je:

$$\begin{aligned} A_n&=2^{2(4k+\ell)+1}-2^{4k+\ell+1}+1=2^{8k+2\ell+1}-2^{4k+\ell+1}+1,\\ B_n&=2^{8k+2\ell+1}+2^{4k+\ell+1}+1. \end{aligned}$$

U prvom slučaju neka je $\ell=0$. Tada je

$$\begin{aligned} A_n&=2^{8k+1}-2^{4k+1}+1=2^{4k+1}(2^{4k}-1)+1,\\ B_n&=2^{8k+1}+2^{4k+1}+1=2^{4k+1}(2^{4k}+1)+1. \end{aligned}$$

Zadnja znamenka potencije broja 2 završava znamenkom 6, ako je eksponent oblika $4k$, znamenkom 2 ako je oblika $4k+1$, znamenkom 4 ako je oblika $4k+2$ i znamenkom 8 ako je oblika $4k+3$.

Zadnja znamenka broja $A_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $2\cdot(6-1)+1=11$ što znači da broj $A_n$ nije djeljiv s 5.

Zadnja znamenka broja $B_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $2\cdot(6+1)+1=15$ što znači da je broj $B_n$ djeljiv s 5.

Ako je $\ell=1$:

$$\begin{aligned} A_n&=2^{8k+3}-2^{4k+2}+1=2^{4k+2}(2^{4k+1}-1)+1,\\ B_n&=2^{8k+3}+2^{4k+2}+1=2^{4k+2}(2^{4k+1}+1)+1. \end{aligned}$$

Sličnim zaključivanjem kao u prethodnom slučaju dobivamo da je zadnja znamenka broja $A_n$ jednaka zadnjoj znamenci broja $4\cdot(2-1)+1=5$, što znači da je broj $A_n$ djeljiv s 5.

Zadnja znamenka broja $B_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $4\cdot(2+1)+1=13$ što znači da broj $B_n$ nije djeljiv s 5.

Ako je $\ell=2$:

$$\begin{aligned} A_n&=2^{8k+5}-2^{4k+3}+1=2^{4k+3}(2^{4k+2}-1)+1,\\ B_n&=2^{8k+5}+2^{4k+3}+1=2^{4k+3}(2^{4k+2}+1)+1. \end{aligned}$$

Zadnja znamenka broja $A_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $8\cdot(4-1)+1=25$, što znači da je broj $A_n$ djeljiv s 5.

Zadnja znamenka broja $B_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $8\cdot(4+1)+1=41$ što znači da broj $B_n$ nije djeljiv s 5.

Ako je $\ell=3$:

$$\begin{aligned} A_n&=2^{8k+7}-2^{4k+4}+1=2^{4k+4}(2^{4k+3}-1)+1,\\ B_n&=2^{8k+7}+2^{4k+4}+1=2^{4k+4}(2^{4k+3}+1)+1. \end{aligned}$$

Zadnja znamenka broja $A_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $6\cdot(8-1)+1=43$ što znači da broj $A_n$ nije djeljiv s 5.

Zadnja znamenka broja $B_n$ jednaka je zadnjoj znamenci broja $6\cdot(8+1)+1=55$ što znači da je broj $B_n$ djeljiv s 5.

Drugo rješenje.

Pomnožimo dane brojeve i primijetimo da se umnožak može napisati kao razlika kvadrata:

$$\begin{aligned} A_nB_n&=(2^{2n+1}+1-2^{n+1})(2^{2n+1}+1+2^{n+1})\\ &=(2^{2n+1}+1)^2-2^{2n+2}\\ &=2^{4n+2}+2^{2n+2}+1-2^{2n+2}=2^{4n+2}+1=4\cdot2^{4n}+1. \end{aligned}$$

Budući da je $2^{4n}=16^n$, a 16 daje ostatak 1 pri dijeljenju s 5, i broj $2^{4n}$ daje ostatak 1 pri dijeljenju s 5.

Stoga dobiveni produkt $A_nB_n=4\cdot2^{4n}+1$ daje isti ostatak kao i $4\cdot1+1=5$ pri dijeljenju s 5, odnosno $A_nB_n$ je djeljivo s 5. Budući da je 5 prost broj, bar jedan od brojeva $A_n$ i $B_n$ je djeljiv s 5.

Preostaje provjeriti da ne mogu oba broja biti djeljiva s 5.

Kada bi 5 dijelio i $A_n=2^{2n+1}-2^{n+1}+1$ i $B_n=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$, dijelio bi i njihovu razliku

$$B_n-A_n=2\cdot2^{n+1}=2^{n+2},$$

što je nemoguće jer je to potencija broja 2.