4. Zadatak

Iz $|x|\le a$ slijedi $-a\le x\le a$, a iz $|1-y|\le2$ slijedi da je

$$1-y\le2\quad\text{i}\quad1-y\ge-2,$$ $$y\ge-1\quad\text{i}\quad y\le3.$$

Dobivamo skup točaka $(x,y)$ koje se nalaze između pravaca $y=-1,y=3$, između pravaca $x=-a$ i $x=a$, te na kraju, zbog $y\ge-x$, iznad simetrale drugog i četvrtog kvadranta.

Broj $a>3$ jer bi u protivnom unutar danog skupa točaka bilo manje od 2015 (točnije $\le25$) točaka s cjelobrojnim koordinatama.

Dobiveni je lik trapez $ABCD$ kojemu su osnovice duljine $a+3$ i $a-1$, a duljina visine $v=4$. Prebrojimo točke po segmentima paralelnima s $x$-osi unutar dobivenog trapeza.

$$\begin{aligned} 2015&=a+4+a+3+a+2+a+1+a\\ 2015&=5a+10,\quad\text{a odavde je}\\ 403&=a+2,\\ a&=401. \end{aligned}$$

Površina dobivenog trapeza je

$$P=\frac{(a-1)+(a+3)}{2}\cdot4=(400+404)\cdot2=1608$$

kvadratnih jedinica.