5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $a=|AB|$, $b=|AC|=|BC|$ i $|CD|=x$.

Uz ove oznake dana jednakost prelazi u $\frac{a+b+x}{b+x}=\frac{2\sqrt3+3}{3}$. Odatle je

$$\frac{a}{b+x}=\frac{a+b+x}{b+x}-1=\frac{2\sqrt3+3}{3}-1=\frac{2\sqrt3}{3},$$

odnosno

$$\frac{b+x}{a}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Uočimo da je $\cos\beta=\frac{b+x}{a}$,

pa iz prethodnog rezultata slijedi $\cos\beta=\frac{\sqrt3}{2}$ te $\beta=30^\circ$.

Kako je $\alpha+2\beta=180^\circ$, dobivamo $\alpha=120^\circ$.

Dakle, kutovi trokuta $ABC$ su $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$.

Drugo rješenje.

Neka je $a=|AB|$, $b=|AC|=|BC|$ i $|CD|=x$.

Skica kao u prvom rješenju.

Kako je

$$\cos\beta=\frac{a}{2b}=\frac{b+x}{a},$$

slijedi $a^2=2b(b+x)=2b^2+2bx$ odakle dobivamo

$$x=\frac{a^2-2b^2}{2b}.$$

Uvrštavanjem u danu jednakost

$$\frac{a+b+x}{b+x}=\frac{2\sqrt3+3}{3}$$

dobivamo

$$\frac{a+b+\frac{a^2-2b^2}{2b}}{b+\frac{a^2-2b^2}{2b}}=\frac{2\sqrt3+3}{3}.$$

Sređivanjem slijedi $\frac ab=\sqrt3$.

Odatle je $\cos\beta=\frac{a}{2b}=\frac{\sqrt3}{2}$, pa je $\beta=30^\circ$ i konačno $\alpha=120^\circ$.