6. Zadatak

Prvo rješenje.

Brzina kojom se mijenja kut $\angle KSP$ je konstantna i iznosi $\frac{360^\circ}{100}=3.6^\circ$ u sekundi.

To znači da je kut za koji se kabina zarotira od početnog položaja $P$ do položaja $K$ (oko središta $S$) jednak $\alpha=3.6^\circ t$ ili $\alpha=\frac\pi{50}t$.

Uočimo pravokutni trokut $SAK$. Vrijedi $\cos\alpha=\frac{12-h}{10}$ odnosno

$$h=12-10\cos\alpha.$$

Uvrštavajući izraz za $\alpha$, dobivamo traženu ovisnost visine o vremenu

$$h(t)=12-10\cos(3.6^\circ t)=12-10\cos\frac{\pi t}{50}.$$

Treba provjeriti vrijedi li ista ovisnost i ako je kut rotacije veći od $90^\circ$. Pogledajmo slike:

Ako je kut rotacije između $90^\circ$ i $180^\circ$ (prva slika), onda iz trokuta $SAK$ slijedi

$$\cos(180^\circ-\alpha)=\frac{h-12}{10}.$$

Analogno, za kut između $180^\circ$ i $270^\circ$ (druga slika), onda je

$$\cos(\alpha-180^\circ)=\frac{h-12}{10}.$$

Kako je $\cos(180^\circ-\alpha)=\cos(\alpha-180^\circ)=-\cos\alpha$, u oba slučaja vrijedi $h=12-10\cos\alpha$.

Kada je kut rotacije između $270^\circ$ i $360^\circ$ (treća slika), tada je

$$\cos(360^\circ-\alpha)=\frac{12-h}{10}.$$

Vrijedi $\cos(360^\circ-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, pa i u ovom slučaju vrijedi $h=12-10\cos\alpha$.

Zaključujemo da je visina kabine u ovisnosti o kutu rotacije $\alpha$ uvijek dana s $h=12-10\cos\alpha$,

a u ovisnosti o vremenu $t$ formulom $h(t)=12-10\cos(3.6^\circ t)=12-10\cos\frac{\pi t}{50}$.

Treba još odrediti koliko je vremena kabina iznad 17 metara visine.

Riješimo nejednadžbu $12-10\cos(3.6^\circ t)>17$.

$$\begin{aligned} -10\cos(3.6^\circ t)&>5\\ \cos(3.6^\circ t)&<-0.5\\ 120^\circ&<3.6^\circ t<240^\circ\\ \frac{120}{3.6}&<t<\frac{240}{3.6}\\ \frac{100}{3}&<t<\frac{200}{3}. \end{aligned}$$

Kako je $\frac{200}{3}-\frac{100}{3}=\frac{100}{3}=33\frac13$, kabina će u svakom okretu 33 i 1/3 sekunde biti iznad 17 metara visine.

Drugo rješenje.

Prema zadanim podacima o brzini gibanja kotača, učenik može napraviti tablicu i grafički prikazati dobivene podatke:

$t\ (\mathrm{s})$	0	25	50	75	100
$h\ (\mathrm{m})$	2	12	22	12	2

Ovisnost visine kabine o vremenu možemo prikazati funkcijom sinus ili kosinus:

$$h(t)=A\sin(Bt+C)+D,$$

gdje je $A=10$, $D=12$.

Kako je $P=100$ iz $P=\frac{2\pi}{B}$ slijedi $B=\frac\pi{50}$.

Iz uvjeta $h(0)=10\sin\left(\frac\pi{50}\cdot0+C\right)+12=2$ dobivamo $C=-\frac\pi2$.

Ovisnost visine kabine o vremenu dana je formulom

$$10\sin\left(\frac\pi{50}\cdot t-\frac\pi2\right)+12.$$

(ili $-10\cos\frac{\pi t}{50}+12$)

Na kraju treba riješiti nejednadžbu $h(t)>17$, kao u prvom rješenju.

Treće rješenje.

Kako je gibanje kabine periodično učenici će možda pretpostaviti da je tražena ovisnost dana s trigonometrijskom funkcijom kosinus (ili sinus), a zatim određivati nepoznate koeficijente. Ako koristimo funkciju kosinus, a s obzirom da kotač kreće od trenutka $t=0$, pretpostavit ćemo da je gibanje dano s $h(t)=A\cos Bt+C$. Odredimo koeficijente $A$, $B$, $C$.

Amplituda iznosi $10$, a zbog početka u najnižoj točki koeficijent je $A=-10$.

Period (u sekundama) je $100=\frac{2\pi}{B}$, pa je $B=\frac\pi{50}$.

Također vrijedi $C=\frac{h_{max}+h_{min}}{2}=12$, pa je $h(t)=-10\cos\frac{\pi t}{50}+12$.

Još treba obrazložiti zašto je ovisnost $h(t)$ dana s funkcijom kosinus (ili sinus). Primjerice, učenik može nacrtati sljedeću sliku i uočiti pridruživanje kao na brojevnoj kružnici:

Koordinatni sustav je zarotiran tako da je ishodište u točki $S$, os $x$ je pravac $SP$, a os $y$ horizontalna os. Vremenu $t$ (realnom broju na pravcu paralelnom s $y$ osi) pridružena je točka $K$ (položaj kabine). Pridružimo li točki $K$ njezinu apscisu, dobili smo periodičnu funkciju kosinus.

Na kraju treba riješiti nejednadžbu $h(t)>17$, kao u prvom rješenju.