4. Zadatak

Neka je $a$ duljina stranice kocke i baze piramide.

Oplošje kocke je $O_k=6a^2$.

Oplošje piramide je $O_p=a^2+4\cdot\frac{av}{2}=a^2+2av$ ($v$ je visina pobočke).

Potrebno je visinu pobočke $v$ izraziti pomoću duljine brida $a$. Nasuprotni bočni bridovi i dijagonala baze tvore jednakostraničan trokut.

Visina piramide je

$$h=a\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt6}{2},$$

a visina pobočke

$$v=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{a\sqrt6}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt7}{2}.$$

Omjer oplošja dane piramide i kocke iznosi

$$\begin{aligned} \frac{O_p}{O_k} &=\frac{a^2+2av}{6a^2}\\ &=\frac{a^2+2a\cdot\frac{a\sqrt7}{2}}{6a^2}\\ &=\frac{a^2(1+\sqrt7)}{6a^2}\\ &=\frac{1+\sqrt7}{6}. \end{aligned}$$

(Ili obratno, $\frac{O_k}{O_p}=\sqrt7-1$.)

Napomena: Visina pobočke može se izračunati i kao visina jednakokračnog trokuta (pobočke):

$$v=\sqrt{(a\sqrt2)^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt7}{2}.$$