Neka je a a a b b b
V = log 2 x − 2 = a 3 , pa je a = log 2 x − 2 3 . V=\log_2x-2=a^3,\quad\text{pa je}\quad a=\sqrt[3]{\log_2x-2}. V = log 2 x − 2 = a 3 , pa je a = 3 log 2 x − 2 . P = 7 − log 2 x = b 2 , pa je b = 7 − log 2 x . P=7-\log_2x=b^2,\quad\text{pa je}\quad b=\sqrt{7-\log_2x}. P = 7 − log 2 x = b 2 , pa je b = 7 − log 2 x . Kako su a a a b b b log 2 x − 2 > 0 \log_2x-2>0 log 2 x − 2 > 0 7 − log 2 x > 0 7-\log_2x>0 7 − log 2 x > 0 2 < log 2 x < 7 2<\log_2x<7 2 < log 2 x < 7 4 < x < 128 4<x<128 4 < x < 128
Prema uvjetu zadatka treba riješiti jednadžbu
7 − log 2 x − log 2 x − 2 3 = 1. \sqrt{7-\log_2x}-\sqrt[3]{\log_2x-2}=1. 7 − log 2 x − 3 log 2 x − 2 = 1. Uvedemo li supstituciju t = log 2 x t=\log_2x t = log 2 x
7 − t − t − 2 3 = 1 7 − t − 1 = t − 2 3 ( 7 − t − 1 ) 3 = t − 2 ( 7 − t ) 7 − t − 3 ( 7 − t ) + 3 7 − t − 1 = t − 2 ( 10 − t ) 7 − t = 20 − 2 t ( ( 10 − t ) 7 − t ) 2 = ( 20 − 2 t ) 2 ( 10 − t ) 2 ( 7 − t ) = 4 ( 10 − t ) 2 ( 10 − t ) 2 ( 3 − t ) = 0. \begin{aligned} \sqrt{7-t}-\sqrt[3]{t-2}&=1\\ \sqrt{7-t}-1&=\sqrt[3]{t-2}\\ (\sqrt{7-t}-1)^3&=t-2\\ (7-t)\sqrt{7-t}-3(7-t)+3\sqrt{7-t}-1&=t-2\\ (10-t)\sqrt{7-t}&=20-2t\\ \left((10-t)\sqrt{7-t}\right)^2&=(20-2t)^2\\ (10-t)^2(7-t)&=4(10-t)^2\\ (10-t)^2(3-t)&=0. \end{aligned} 7 − t − 3 t − 2 7 − t − 1 ( 7 − t − 1 ) 3 ( 7 − t ) 7 − t − 3 ( 7 − t ) + 3 7 − t − 1 ( 10 − t ) 7 − t ( ( 10 − t ) 7 − t ) 2 ( 10 − t ) 2 ( 7 − t ) ( 10 − t ) 2 ( 3 − t ) = 1 = 3 t − 2 = t − 2 = t − 2 = 20 − 2 t = ( 20 − 2 t ) 2 = 4 ( 10 − t ) 2 = 0. Rješenja posljednje jednadžbe su t = 10 t=10 t = 10 t = 3 t=3 t = 3
pa je log 2 x = 10 \log_2x=10 log 2 x = 10 log 2 x = 3 \log_2x=3 log 2 x = 3
Zbog uvjeta, prva jednadžba ne vodi rješenju našeg problema.
Iz log 2 x = 3 \log_2x=3 log 2 x = 3 x = 8 x=8 x = 8
Tražene duljine stranica kvadrata i brida kocke su b = 2 b=2 b = 2 a = 1 a=1 a = 1
