2. Zadatak

Uvjet na rješenje dane jednadžbe je $\operatorname{tg}x\neq0$, $\sin\frac x2\neq0$, $\cos\frac x2\neq0$. Drugim riječima, mora biti $x\neq\frac{k\pi}{2}$ za $k\in\mathbb Z$.

Svedimo izraz na lijevoj strani jednadžbe na zajednički nazivnik.

$$\frac1{\cos^2\frac x2}+\frac1{\sin^2\frac x2} =\frac{\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2}{\cos^2\frac x2\cdot\sin^2\frac x2} =\frac1{\cos^2\frac x2\cdot\sin^2\frac x2}.$$

Time jednadžba postaje

$$\begin{aligned} \frac1{\cos^2\frac x2\cdot\sin^2\frac x2}&=\frac{16}{\operatorname{tg}x}\\ \frac1{\left(\frac12\sin\left(2\cdot\frac x2\right)\right)^2}&=\frac{16}{\operatorname{tg}x}\\ \frac1{\frac14\sin^2x}&=\frac{16\cos x}{\sin x}. \end{aligned}$$

Uz uvjet $\sin x\neq0$ ovo je ekvivalentno s $4\sin x\cos x=1$, odnosno $\sin2x=\frac12$.

Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo $2x=\frac\pi6+2k\pi$ ili $2x=\frac{5\pi}6+2k\pi$, za $k\in\mathbb Z$, odnosno $x=\frac\pi{12}+k\pi$ ili $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$, za $k\in\mathbb Z$.

Dana jednadžba ima dva rješenja na svakom intervalu $\langle k\pi,(k+1)\pi\rangle$.

Kako su na intervalu $\langle0,\pi\rangle$ dva rješenja dane jednadžbe, na intervalu $\langle0,2019\pi\rangle$ je ukupno $4038$ rješenja.