2. Zadatak

Neka je $x=4m$ i $y=4n$, $m,n\in\mathbb{N}$. Vrijedi $x^3-y^3=91k$, $k\in\mathbb{N}$.

Tada je $64m^3-64n^3=91k$, odnosno $64(m^3-n^3)=91k$, $k\in\mathbb{N}$. Ova je jednakost moguća samo ako je broj $k$ višekratnik broja 64. Kako broj $91k$ mora biti četveroznamenkasti broj, jedini višekratnik za koji to vrijedi je $k=64$, $(91\cdot64=5824)$. Odatle slijedi da je

$$m^3-n^3=91\iff(m-n)(m^2+mn+n^2)=13\cdot7.$$

Imamo sljedeće mogućnosti, odnosno sustave jednadžbi:

1. $m-n=13$, $m^2+mn+n^2=7$ ili
2. $m-n=7$, $m^2+mn+n^2=13$ ili
3. $m-n=1$, $m^2+mn+n^2=91$ ili
4. $m-n=91$, $m^2+mn+n^2=1$.

Kako su $m$ i $n$ prirodni brojevi nužno je

$$m-n<m^2+mn+n^2,$$

stoga je dovoljno promotriti drugi i treći slučaj. (U prvom i četvrtom slučaju sustav se svodi na kvadratnu jednadžbu koja nema realnih rješenja.)

Sustav 2. svodi se na kvadratnu jednadžbu $n^2+7n+12=0$, čija su rješenja negativni brojevi $-3$ i $-4$.

Sustav 3. daje jednadžbu koja ima jedno pozitivno rješenje $n=5$. Tada je $m=n+1=6$.

Zaključujemo da su traženi brojevi $x=4\cdot6=24$ i $y=4\cdot5=20$ jedino rješenje zadatka.