1. Zadatak

Da bi logaritam bio dobro definiran mora vrijediti $m>0$, a zbog nazivnika $x\ne0$. Pomnožimo jednadžbu s $a^{2+2x}$ i dobijemo

$$a^{(\log m+2)x}+2a^{\frac{2x+\log m}{x}}=3a^{\frac{\log m}{x}}a^2.$$

Odnosno,

$$a^{(\log m+2)x}=3a^{\frac{\log m+2x}{x}}-2a^{\frac{2x+\log m}{x}}=a^{\frac{\log m+2x}{x}},$$

pa je

$$(\log m+2)x=\frac{\log m+2x}{x}$$

odnosno

$$(\log m+2)x^2-2x-\log m=0.$$

Da bi dobivena jednadžba bila kvadratna, mora vrijediti $\log m+2\ne0$, odnosno $m\ne0.01$. Njezina je diskriminanta

$$D=4+4\log m(\log m+2)=4(\log^2m+2\log m+1)=4(\log m+1)^2>0,$$

osim za $\log m=-1$, odnosno za $m=\frac1{10}$. Korijeni su

$$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4(\log m+1)^2}}{2(\log m+2)} =\frac{1\pm(\log m+1)}{\log m+2},$$

to jest

$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac{\log m}{\log m+2}.$$

Rješenja su istog predznaka ako i samo ako je

$$-\frac{\log m}{\log m+2}>0,$$

što je ekvivalentno uvjetu

$$\log m\in\langle-2,0\rangle.$$

Stoga je

$$m\in\left\langle\frac1{100},1\right\rangle\setminus\left\{\frac1{10}\right\}.$$