Osnovna škola Srednja škola A Srednja škola B

Pretraži zadatke

Učenik može koristiti osnovne filtere, dok Prof. može dodatno filtrirati zadatke prema temama.

Pročitaj više →

←Vrati se na zadatke

Srednja škola

3. razred

B varijanta

Državno natjecanje

2016. godina

Bodovi: 10

Područja

Geometrija

Teme

Trigonometrija
Površina trokuta

Zadaci ovog natjecanja

1.
2.
3.
4.
5.

4. Zadatak

Kolika je površina trokuta kojemu je zbroj kvadrata duljina stranica jednak 2016, a zbroj kotangensa kutova 18?

Rješenje

Vrijedi

a^2+b^2+c^2=2016 \quad\text{i}\quad \operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma=18.

Prema poučku o kosinusu,

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,

b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta,

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma,

vrijedi

a^2+b^2+c^2=2bc\cos\alpha+2ac\cos\beta+2ab\cos\gamma.

Iz sljedećih formula za površinu

P=\frac{ab\sin\gamma}{2}=\frac{bc\sin\alpha}{2}=\frac{ac\sin\beta}{2}

slijedi

ab=\frac{2P}{\sin\gamma},\qquad ac=\frac{2P}{\sin\beta},\qquad bc=\frac{2P}{\sin\alpha}.

Slijedi da je

a^2+b^2+c^2=4P\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+4P\frac{\cos\beta}{\sin\beta}+4P\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma} =4P(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma),

pa je

P=\frac{a^2+b^2+c^2}{4(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)} =\frac{2016}{4\cdot18}=28\ \text{kv. jedinica}.

Izvor

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i sporta Republike Hrvatske · Agencija za odgoj i obrazovanje · Hrvatsko matematičko društvo

2016-SS-drzavno-B-1234-zad.pdf
2016-SS-drzavno-B-1234-rj.pdf

Matematički zadaci s natjecanja

Neovisni volonterski projekt. Ovo nije službena stranica Hrvatskog matematičkog društva, Agencije za odgoj i obrazovanje ni nadležnog ministarstva.

Izvori i ustanove navedeni su uz svaki zadatak.

Privatnost Politika kolačića

Zadaci

Osnovna škola
Srednja škola A
Srednja škola B

Korisni linkovi

Kako koristiti stranicu
Matematička natjecanja
Hrvatsko matematičko društvo

Vidiš neku grešku?

Javi nam ako tekst, formula, tema, slika ili rješenje nisu točni.

Projekt je razvio i održava Petar.

Može jedan kolačić?

Analitika nam pomaže poboljšati stranicu — ali samo ako je tebi to prihvatljivo.

Postavke kolačića

Ti odlučuješ smijemo li uključiti analitiku. Nužna pohrana uvijek je uključena jer omogućuje funkcije koje sam zatražiš.

NužnoLista za ispis, filtri i tvoj odabir privatnosti.

AnalitikaGoogle Analytics 4, samo uz tvoju privolu.

Pogledaj Politiku kolačića za potpuni popis pohrane, svrhe i trajanja.

Prijavi grešku

Moguće su pogreške u prijepisu, formulama, temama, slikama ili rješenjima. Hvala što nam pomažeš poboljšati stranicu.

Vrsta problemaOpis problemaKontakt e-mail neobaveznoE-mail koristimo samo ako trebamo dodatno objašnjenje ili ti želimo javiti da je problem ispravljen. Kako obrađujemo podatke.Web-stranica

Hvala na prijavi

Prijava je poslana i bit će pregledana.

Lista za ispis 0

Sortiraj:

Sadržaj za ispis Zadatak Uključi rješenja