1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $x$ i $y$ duljine stranica pravokutnika. Tada je

$$2x^2=xy+12,$$ $$y^2+2xy=16.$$

Ako iz prve jednadžbe izrazimo $y=2x-\frac{12}{x}$ i uvrstimo u drugu, dobivamo jednadžbu

$$\left(2x-\frac{12}{x}\right)^2+2x\left(2x-\frac{12}{x}\right)=16,$$

odnosno

$$4x^2-48+\frac{144}{x^2}+4x^2-24-16=0.$$

Nakon sređivanja dobivamo bikvadratnu jednadžbu

$$x^4-11x^2+18=0.$$

Tada je $x_1^2=9$, $x_2^2=2$.

Ako je $x=\sqrt2$ tada je $y=-4\sqrt2$, što je nemoguće. Stoga je $x=3$, pa je $y=2$.

Cvjetnjak ima jednu stranicu duljine $3$ m, a drugu $2$ m.

Drugo rješenje.

Neka su $x$ i $y$ duljine stranica pravokutnika. Tada je

$$2x^2=xy+12,$$ $$y^2+2xy=16.$$

Podijelimo li ove jednadžbe slijedi

$$\frac{2x^2-xy}{y^2+2xy}=\frac34,$$

odnosno

$$8x^2-4xy=3y^2+6xy,$$

a zatim

$$8x^2-10xy-3y^2=0.$$

Očito je $x\neq0$, $y\neq0$, pa podijelimo dobivenu jednadžbu s $y^2$. Tada je

$$8\left(\frac xy\right)^2-10\left(\frac xy\right)-3=0$$

kvadratna jednadžba čija su rješenja $\frac xy=\frac32$ i $\frac xy=-\frac14$.

Rješenje mora biti pozitivno pa je $\frac xy=\frac32$. Tada je $x=\frac32y$ pa iz prve jednadžbe početnog sustava slijedi

$$2\cdot\frac94y^2-\frac32y^2=12,$$

odnosno $y^2=4$, pa je $y=2$, a $x=3$.

Cvjetnjak ima jednu stranicu duljine $3$ m, a drugu $2$ m.