2. Zadatak

Uvjeti da jednadžba ima rješenje su sljedeći: $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{2x-1}\neq0$ i $12x\neq0$, odnosno $x\neq0$.

Iz prvog uvjeta je $\sqrt[3]{x+1}\neq-\sqrt[3]{2x-1}$, odakle kubiranjem slijedi $x+1\neq-2x+1$ te $x\neq0$.

Ako danu jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim nazivnikom $(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{2x-1})\cdot\sqrt[3]{12x}$, dobivamo

$$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{2x-1}=\sqrt[3]{12x}.\tag{*}$$

Kubiranjem slijedi

$$x+1+3\sqrt[3]{(x+1)^2}\sqrt[3]{2x-1}+3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{(2x-1)^2}+2x-1=12x,$$ $$3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{2x-1}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{2x-1}\right)=9x,$$ $$\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{2x-1}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{2x-1}\right)=3x.$$

Uočimo da je izraz u zagradi jednak lijevoj strani jednadžbe $(*)$ pa možemo pisati

$$\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{2x-1}\sqrt[3]{12x}=3x.$$

Nakon kubiranja slijedi

$$(x+1)(2x-1)12x=27x^3,$$

a budući da je $x\neq0$ podijelimo jednadžbu s $3x$. Tada je

$$4(x+1)(2x-1)=9x^2.$$

Nakon sređivanja dobivamo kvadratnu jednadžbu $x^2-4x+4=0$, koja ima rješenje $x=2$, što je ujedno i rješenje početne jednadžbe.