3. Zadatak

Neka je $a$ duljina stranice nasuprot kuta $\alpha$, $b$ duljina stranice nasuprot kuta $\beta$ i $c$ duljina stranice nasuprot kuta $\gamma$ danog trokuta.

Primjenom poučka o sinusu imamo:

$$\frac a{\sin\alpha}=2R\implies\sin\alpha=\frac a{2R},$$ $$\frac b{\sin\beta}=2R\implies\sin\beta=\frac b{2R},$$ $$\frac c{\sin\gamma}=2R\implies\sin\gamma=\frac c{2R}.$$

Uvrstimo li izraze za sinuse u zadanu jednakost slijedi

$$\frac{\dfrac{c^2}{4R^2}+\dfrac{b^2}{4R^2}-\dfrac{a^2}{4R^2}}{\dfrac b{2R}\cdot\dfrac c{2R}}=\sqrt3,$$

odnosno

$$\frac{c^2+b^2-a^2}{bc}=\sqrt3$$

ili $c^2+b^2-a^2=\sqrt3bc$.

Prema poučku o kosinusu je $\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, pa je

$$\cos\alpha=\frac{\sqrt3bc}{2bc}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Tada je traženi kut $\alpha=30^\circ$.