4. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da je u trokutu $ABC$ $\beta=2\alpha$. Neka je $BD$ dio simetrale kuta $\beta$ unutar tog trokuta.

Tada je uz oznake kao na slici prema poučku o simetrali unutarnjeg kuta u trokutu

$$\frac{|AD|}{|DC|}=\frac ca,$$

odnosno $|DC|=\frac ac(b-|DC|)$. Odatle je $|DC|=\frac{ab}{a+c}$.

Trokut $BDC$ sličan je trokutu $ABC$ prema poučku KK pa vrijedi $\frac{|DC|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tada je

$$\frac{\dfrac{ab}{a+c}}a=\frac ab,$$

odnosno $a(a+c)=b^2$.

Budući da su duljine stranica danog trokuta uzastopni prirodni brojevi i $\alpha<\gamma<\beta$ onda je $a<c<b$ i vrijedi $c=a+1$, $b=a+2$. Tada iz prethodne jednakosti slijedi $a(a+a+1)=(a+2)^2$ odnosno $a^2-3a-4=0$. Pozitivno rješenje ove jednadžbe je $a=4$.

Duljine stranica zadanog trokuta su $a=4$, $c=5$, $b=6$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, neka je u trokutu $ABC$ $\beta=2\alpha$, a $BD$ dio simetrale kuta $\beta$ unutar tog trokuta.

Najmanja stranica trokuta je nasuprot najmanjeg kuta, najveća nasuprot najvećeg kuta, a kako su duljine stranica trokuta uzastopni prirodni brojevi, vrijedi $|BC|=a$, $|AC|=a+2$, $|AB|=a+1$.

Označimo $|AD|=x$. Tada je $|DC|=a+2-x$ i $|BD|=x$ (trokut $ABD$ je jednakokračan).

Trokut $BDC$ sličan je trokutu $ABC$ prema poučku KK pa vrijedi

$$\frac{|BD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|AC|}\qquad\text{i}\qquad\frac{|DC|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AC|}.$$

Tada je

$$\frac x{a+1}=\frac a{a+2}$$

i

$$\frac{a+2-x}{a}=\frac a{a+2}$$

odakle je

$$x=\frac{a(a+1)}{a+2}$$

i

$$x=a+2-\frac{a^2}{a+2},$$

odnosno $a^2-3a-4=0$. Pozitivno rješenje ove jednadžbe je $a=4$.

Duljine stranica zadanog trokuta su $a=4$, $c=5$, $b=6$.