3. Zadatak

Prema Talesovom teoremu o obodnom kutu nad promjerom vrijedi

$$\angle END=90^\circ\qquad\text{i}\qquad\angle EMD=90^\circ.$$

Neka je $|AC|=b$, $|BC|=a$ i $\angle BCA=\gamma$. Iz pravokutnog trokuta $NCD$ slijedi

$$\cos\gamma=\frac{|CN|}{b/2}, \qquad |CN|=\frac b2\cos\gamma. \tag{1}$$

Iz pravokutnog trokuta $CME$ analogno dobivamo

$$\cos\gamma=\frac{|CM|}{a/2}, \qquad |CM|=\frac a2\cos\gamma. \tag{2}$$

Iz (1) i (2) slijedi

$$\frac{|CM|}{|CN|}=\frac ab.$$

Prema poučku SKS trokuti $CMN$ i $ABC$ slični su s koeficijentom sličnosti $\frac{\cos\gamma}{2}$. Stoga je

$$\boxed{|MN|=\frac12|AB|\cos\gamma}$$

odnosno $|MN|=\frac12|AB|\cos\angle BCA$.