5. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz jednakosti $\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=-2$ slijedi

$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=-2,$$

odnosno

$$\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos x\sin x}=-2.$$

Budući da je $\sin^2x+\cos^2x=1$, slijedi

$$\cos x\sin x=-\frac12.$$

Sada je:

$$\begin{aligned} (\sin x-\cos x)^{10} &=((\sin x-\cos x)^2)^5\\ &=(\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x)^5\\ &=(1-2\sin x\cos x)^5\\ &=\left(1-2\cdot\left(-\frac12\right)\right)^5=32. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Iz $\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=-2$ dobivamo

$$\operatorname{tg}x+\frac1{\operatorname{tg}x}=-2,$$

odnosno $\operatorname{tg}^2x+2\operatorname{tg}x+1=0$ odakle slijedi da je $\operatorname{tg}x=-1$.

Kako je $\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ iz $\operatorname{tg}x=-1$ slijedi $\sin x=-\cos x$.

Uvrstimo li $\sin x=-\cos x$ u $\sin^2x+\cos^2x=1$, dobivamo da je $\sin^2x=\dfrac12$ kao i $\cos^2x=\dfrac12$.

Nadalje, iz $\sin x=-\cos x$ i $\cos^2x=\dfrac12$ slijedi

$$(\sin x-\cos x)^{10}=(-2\cos x)^{10}=2^{10}(\cos^2x)^5=2^{10}\cdot\frac1{2^5}=32.$$