7. Zadatak

Promotrimo skicu.

Neka je $\angle BAD=\alpha$, $\angle CBA=\beta$, $\angle DCB=\gamma$, $\angle ADC=\delta$.

U tetivnom je četverokutu zbroj nasuprotnih kutova jednak $180^\circ$, pa vrijedi $\beta=180^\circ-\delta$ i $\gamma=180^\circ-\alpha$.

Za njihove kosinuse vrijedi

$$\cos\beta=\cos(180^\circ-\delta)=-\cos\delta,$$ $$\cos\gamma=\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha. \tag{*}$$

Dakle, tražimo dva susjedna kuta s pozitivnim kosinusom.

Iz trokuta $ACD$ primjenom poučka o kosinusu dobivamo:

$$\begin{aligned} e^2&=|AD|^2+|CD|^2-2|AD|\cdot|CD|\cdot\cos\delta,\\ e^2&=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot\cos\delta,\\ e^2&=36+25-60\cdot\cos\delta,\\ e^2&=61-60\cdot\cos\delta. \tag{**} \end{aligned}$$

Analogno, iz trokuta $ABC$ primjenom poučka o kosinusu dobivamo:

$$\begin{aligned} e^2&=|AB|^2+|BC|^2-2|AB|\cdot|BC|\cdot\cos\beta,\\ e^2&=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\cos\beta,\\ e^2&=9+16-24\cdot\cos\beta,\\ e^2&=25-24\cdot\cos\beta, \end{aligned}$$

a zbog $(*)$ slijedi

$$e^2=25-24\cos\beta=25-24\cos(180^\circ-\delta)=25+24\cos\delta. \tag{***}$$

Iz jednakosti $(**)$ i $(***)$ dobivamo

$$61-60\cos\delta=25+24\cos\delta,$$

odakle slijedi da je $\cos\delta=\dfrac37$.

Analogno, se iz trokuta $ABD$ i $BCD$ primjenom poučka o kosinusu dobije

$$6^2+3^2-2\cdot6\cdot3\cos\alpha =4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cos(180^\circ-\alpha),$$

odnosno $\cos\alpha=\dfrac1{19}$.

Dakle, traženi kosinusi su $\cos\alpha=\dfrac1{19}$ i $\cos\delta=\dfrac37$. Preostala dva kuta imaju negativne kosinuse zbog $(*)$.

Iz $\cos\delta=\dfrac37$ slijedi da je

$$\sin\delta=\sqrt{1-\cos^2\delta}=\sqrt{1-\frac9{49}}=\frac{2\sqrt{10}}7.$$

Površina četverokuta $ABCD$ jednaka zbroju površina trokuta $ACD$ i $ABC$, pa je

$$P_{ABCD}=P_{ACD}+P_{ABC} =\frac12|AD|\cdot|CD|\cdot\sin\delta +\frac12|AB|\cdot|BC|\cdot\sin\beta.$$

Iz $\sin\beta=\sin(180^\circ-\delta)=\sin\delta$, slijedi

$$P_{ABCD}=\frac12\cdot6\cdot5\cdot\frac{2\sqrt{10}}7 +\frac12\cdot3\cdot4\cdot\frac{2\sqrt{10}}7 =6\sqrt{10}\text{ cm}^2.$$

Napomena: Površinu možemo na isti način izračunati i kao zbroj površina trokuta $ABD$ i $BCD$:

$$\sin\gamma=\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha =\sqrt{1-\left(\frac1{19}\right)^2}=\frac{6\sqrt{10}}{19},$$ $$\begin{aligned} P_{ABCD}&=P_{ABD}+P_{BCD}\\ &=\frac12|AD|\cdot|AB|\cdot\sin\alpha +\frac12|BC|\cdot|CD|\cdot\sin\gamma\\ &=\frac12\cdot6\cdot3\cdot\frac{6\sqrt{10}}{19} +\frac12\cdot5\cdot4\cdot\frac{6\sqrt{10}}{19}\\ &=6\sqrt{10}\text{ cm}^2. \end{aligned}$$

Također, učenik može primijeniti i Heronovu formulu za površinu tetivnog četverokuta:

$$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} =\sqrt{6\cdot5\cdot4\cdot3}=6\sqrt{10}\text{ cm}^2,$$

gdje je $s=9$ poluopseg četverokuta $ABCD$.