6. Zadatak

Pravci $AI$, $BJ$, $CG$ i $DF$ su redom simetrale kutova u vrhovima $A$, $B$, $C$ i $D$.

Kako je svaka točka simetrale kuta jednako udaljena od njegovih krakova, točke koje su bliže stranici $a$ nalaze se u istočkanom dijelu kako je prikazano na skici pravokutnika.

Točke koje su od stranice $a$ udaljene za manje od $\dfrac a8$ su točke unutar sukladnih trapeza $ABJI$ i $CDFG$.

Trokut $ABE$ je jednakokračan pravokutni trokut pa je njegova visina jednaka $\dfrac a2$.

Kako su trokuti $ABE$ i $IJE$ slični s koeficijentom sličnosti

$$k=\frac{\frac{3a}{8}}{\frac a2}=\frac34$$

zaključujemo da je duljina dužine $\overline{IJ}$ jednaka $\dfrac34a$.

Izračunajmo zbroj površina tih trapeza $ABJI$ i $CDFG$.

$$P_{ABJI}+P_{CDFG}=2P_{ABJI} =2\cdot\frac{a+\frac34a}{2}\cdot\frac a8 =\frac7{32}a^2.$$

Vjerojatnost traženog događaja je:

$$p=\frac{\frac7{32}a^2}{ab}=\frac{7a}{32b}=\frac7{32}\cdot\frac47=\frac18.$$