5. Zadatak

Prvo rješenje.

Nadopunimo pravokutni trokut do kvadrata $BCMN$, kao na slici. Neka su $P$ i $Q$ točke koje dužinu $MN$ dijele na tri jednaka dijela. Tada je prema uvjetima

$$\angle ADC=\alpha,\qquad \angle ABC=\beta,\qquad \angle AEC=45^\circ,$$

a trokut $ACE$ jednakokračni pravokutni trokut. Treba pokazati da je $45^\circ+\alpha+\beta=90^\circ$, odnosno da je $\alpha+\beta=45^\circ$.

Kako je $\triangle ACD\cong\triangle PMA$, slijedi $|AD|=|AP|$ i $\angle DAP=90^\circ$. Dakle, trokut $DAP$ jednakokračni je pravokutni trokut pa je $\angle ADP=45^\circ$.

Iz $\triangle ABC\cong\triangle DQP$ slijedi $\angle PDQ=\angle ABC=\beta$. Kako je

$$\angle ADC+\angle ADP+\angle ADQ=90^\circ,$$

slijedi

$$\alpha+45^\circ+\beta=90^\circ,$$

što je trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo $|AC|=1$. Tada je $|DE|=1$, $|EA|=\sqrt2$, $|EB|=2$, $|AD|=\sqrt5$ i $|BA|=\sqrt{10}$. Kako je

$$\frac{|DE|}{|EA|}=\frac{|EA|}{|EB|}=\frac{|AD|}{|BA|}=\frac1{\sqrt2},$$

slijedi $\triangle DEA\sim\triangle AEB$, pa je $\angle EAD=\angle ABC=\beta$. Zato je $\alpha+\beta=45^\circ$, kao vanjski kut trokuta $EAD$ koji nema zajednički vrh.