4. Zadatak

Svaka je točka $T_k$ polovište dužine $\overline{T_{k-1}T_{k+1}}$. Iz koordinata točke $T_3$ dobivamo

$$x_{T_3}=\frac12(x_{T_2}+x_{T_4}), \qquad y_{T_3}=\frac12(y_{T_2}+y_{T_4}),$$

pa je $T_2(2,1)$. Analogno dobivamo $A(-4,5)$.

Do istog rezultata možemo doći i promatranjem udaljenosti između točaka.

Jednake udaljenosti susjednih točaka daju korak $+3$ za apscise i $-2$ za ordinate. Zato su

$$x_{T_k}=-4+3k,\qquad y_{T_k}=5-2k,$$

gdje je $k\in\{0,\ldots,2017\}$. Za $k=2017$ dobivamo

$$B=T_{2017}=(6047,-4029).$$

Promotrimo sada razliku koordinata:

$$\left|(5-2k)-(-4+3k)\right|=2016 \quad\Longleftrightarrow\quad |9-5k|=2016.$$

Jednadžba $9-5k=2016$ ne daje prirodan indeks, dok iz $9-5k=-2016$ slijedi $k=405$. Dakle, takva točka postoji i njezine su koordinate

$$T_{405}=(1211,-805).$$