1. Zadatak

Neka je $z=x+yi$; $x,y\in\mathbb{R}$.

Tada prva od danih jednadžbi prelazi u

$$\left[\operatorname{Im}\left(x+yi+\frac12i\right)\right]^2=|x+yi+2|^2+\frac54,$$

odnosno

$$\left(y+\frac12\right)^2=(x+2)^2+y^2+\frac54.$$

Sređivanjem dobivamo skup točaka $(x,y)$ koje leže na paraboli $y=x^2+4x+5$.

Druga jednadžba $\operatorname{Im}(x+yi)-2\operatorname{Re}(x+yi)=k$ određuje skup točaka $(x,y)$ koje leže na pravcu $y=2x+k$.

Rješavanjem sustava jednadžbi dobivamo zajedničke točke parabole i pravca:

$$\begin{aligned} y&=x^2+4x+5\\ y&=2x+k\\ x^2+4x+5&=2x+k\\ x^2+2x+5-k&=0. \end{aligned}$$

Dobivena kvadratna jednadžba će imati jedno realno rješenje ako joj je diskriminanta ($D=b^2-4ac$) jednaka nuli, odnosno

$$4-4(5-k)=0\quad\Rightarrow\quad k=4.$$