5. Zadatak

$$|DE|=\sqrt{a^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a}{2}\sqrt5.$$

$DE$ je promjer kružnice na kojoj leže točke $A$ i $F$ (Tales).

Kutovi $DAF$ i $DEF$ su obodni nad tetivom $DF$ i jednaki $45^\circ$ pa je trokut $EFD$ jednakokračan.

$$|DF|=\frac{|DE|}{\sqrt2}=\frac{a\sqrt{10}}4.$$

Iz trokuta $DGF$ dobivamo

$$(a-x)^2+x^2=|DF|^2,$$

tj. kvadratnu jednadžbu

$$16x^2-16ax+3a^2=0.$$

Rješenja su $x_1=\frac{3a}{4}$ i $x_2=\frac a4$.

Dakle, $|GC|=\frac a4$.

Trokut $FCG$ je jednakokračan pravokutan pa je

$$|FC|=x\sqrt2=\frac{a\sqrt2}{4}=\frac{|AC|}{4}.$$

Dakle, $|AF|=\frac{3|AC|}{4}$, odnosno točka $F$ dijeli dijagonalu u omjeru $3:1$.