3. Zadatak

Zapišimo dane jednadžbe u pogodnijem obliku.

Zbog $x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3$ prva jednadžba prelazi u

$$(\sqrt{x}+\sqrt{y})\cdot(x-\sqrt{xy}+y)=126$$ $$(\sqrt{x}+\sqrt{y})\cdot((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{xy})=126.\tag{*}$$

Druga jednadžba prelazi u

$$\begin{aligned} x+y-12(\sqrt{x}+\sqrt{y})+36+2\sqrt{xy}&=0\\ (x+2\sqrt{xy}+y)-12(\sqrt{x}+\sqrt{y})+36&=0\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-12(\sqrt{x}+\sqrt{y})+36&=0\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y}-6)^2&=0\\ \Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}&=6. \end{aligned}$$

Uvrštavanjem dobivene jednakosti u $(*)$ slijedi $6\cdot(36-3\sqrt{xy})=126$, odnosno $\sqrt{xy}=5$.

Rješavamo sustav

$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=6\\ \sqrt{xy}=5. \end{cases}$$

Uvođenjem zamjene $\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$ dobivamo

$$\begin{cases} a+b=6\\ ab=5 \end{cases}$$

što daje $a=1,b=5$ ili $a=5,b=1$, odnosno $x=1,y=25$ ili $x=25,y=1$.