7. Zadatak

Zapišimo dani izraz u pogodnijem obliku,

$$\begin{aligned} \left(\frac{1+i\operatorname{tg}\frac{\pi}{38n}}{1-i\operatorname{tg}\frac{\pi}{38n}}\right)^{2014} &=\left( \frac{1+i\frac{\sin\frac{\pi}{38n}}{\cos\frac{\pi}{38n}}} {1-i\frac{\sin\frac{\pi}{38n}}{\cos\frac{\pi}{38n}}} \right)^{2014}\\ &=\left( \frac{\cos\frac{\pi}{38n}+i\sin\frac{\pi}{38n}} {\cos\frac{\pi}{38n}-i\sin\frac{\pi}{38n}} \right)^{2014}\\ &=\left( \frac{\cos\frac{\pi}{38n}+i\sin\frac{\pi}{38n}} {\cos\left(-\frac{\pi}{38n}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{38n}\right)} \right)^{2014}\\ &=\left(\cos\frac{2\pi}{38n}+i\sin\frac{2\pi}{38n}\right)^{2014}\\ &=\cos\frac{2014\pi}{19n}+i\sin\frac{2014\pi}{19n}\\ &=\cos\frac{106\pi}{n}+i\sin\frac{106\pi}{n}. \end{aligned}$$

Ovaj će broj biti realan ako

$$\sin\frac{106\pi}{n}=0,$$

odnosno ako je razlomak $\frac{106}{n}$ cijeli broj.

To je moguće samo ako je $n$ djelitelj broja 106. Prema tome rješenje je

$$n\in\{1,2,53,106\}.$$