2. Zadatak

Opći član danog binoma je

$$\binom{100}{k}(2\sqrt{x})^{100-k}\left(-\frac1{x^2}\right)^k =\binom{100}{k}\cdot2^{100-k}\cdot(-1)^k\cdot(x^{1/2})^{100-k}\cdot x^{-2k}.$$

Potenciju broja $x$ dobijemo iz

$$(x^{1/2})^{100-k}\cdot x^{-2k} =x^{(100-k)/2}\cdot x^{-2k} =x^{(100-5k)/2}.$$

Eksponent od $x$ je pozitivan ako je

$$\frac{100-5k}{2}>0,$$

odnosno

$$100-5k>0,\qquad k<20.$$

Takvih brojeva $k$ ima 20 jer $k\in\{0,1,2,3,\dots,19\}$.

Eksponent od $x$ je paran i pozitivan ako je

$$\frac{100-5k}{2}=50-\frac52k$$

pozitivan paran broj. To je moguće samo ako je broj $\frac52k$ paran, odnosno ako je broj $k$ djeljiv s 4 i manji od 20. Slijedi

$$k\in\{0,4,8,12,16\}.$$