5. Zadatak

Zadanu jednakost dokažimo matematičkom indukcijom.

Provjerimo tvrdnju za $n=1$,

$$\frac1{1\cdot2}=\frac{(1+1)!-1}{(1+1)!},$$ $$\frac12=\frac{2-1}{2}.$$

Dakle, tvrdnja vrijedi za $n=1$.

Pretpostavimo da zadana jednakost vrijedi za neki proizvoljan prirodan broj $n$, te dokažimo da tada vrijedi i za njegovog sljedbenika $n+1$.

Treba dokazati da je

$$\frac1{2!}+\frac2{3!}+\frac3{4!}+\cdots+\frac n{(n+1)!} +\frac{n+1}{(n+2)!} =\frac{(n+2)!-1}{(n+2)!}.$$

Koristeći pretpostavku indukcije, lijevu stranu posljednje jednakosti možemo pisati u obliku

$$\begin{aligned} \frac1{2!}+\frac2{3!}+\frac3{4!}+\cdots+\frac n{(n+1)!} +\frac{n+1}{(n+2)!} &=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}\\ &=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} +\frac{n+1}{(n+2)(n+1)!}\\ &=\frac{(n+2)(n+1)!-(n+2)+n+1}{(n+2)!}\\ &=\frac{(n+2)(n+1)!-1}{(n+2)!}\\ &=\frac{(n+2)!-1}{(n+2)!}. \end{aligned}$$

Kako iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za $n$, ona vrijedi i za $n+1$, dana tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$.