4. Zadatak

Prvo rješenje.

Kvadriramo li zadanu jednakost, dobivamo sljedeći niz transformacija:

$$|z_1+2z_2|^2=|2z_1+z_2|^2$$ $$\Longrightarrow (z_1+2z_2)(\overline{z_1}+2\overline{z_2}) =(2z_1+z_2)(2\overline{z_1}+\overline{z_2})$$ $$\Longrightarrow |z_1|^2+2z_1\overline{z_2}+2\overline{z_1}z_2+4|z_2|^2 =4|z_1|^2+2z_1\overline{z_2}+2\overline{z_1}z_2+|z_2|^2$$ $$\Longrightarrow |z_1|^2=|z_2|^2 \quad\Longrightarrow\quad |z_1|=|z_2|.$$

Kako je

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},$$

slijedi

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=1.$$

Drugo rješenje.

Uvrstimo li u zadanu jednakost $z_1=a+bi$, $a,b\in\mathbb R$ i $z_2=c+di$, $c,d\in\mathbb R$, dobivamo

$$|a+bi+2(c+di)|=|2(a+bi)+c+di|$$ $$\Longrightarrow \sqrt{(a+2c)^2+(b+2d)^2}=\sqrt{(2a+c)^2+(2b+d)^2}.$$

Kvadriramo li prethodnu jednakost i pojednostavimo dobiveni izraz, dobijemo

$$a^2+b^2=c^2+d^2,$$

odnosno

$$|z_1|^2=|z_2|^2 \quad\Longrightarrow\quad |z_1|=|z_2|.$$

Kako je $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$, slijedi $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=1$.