3. Zadatak

Neka je $a$ duljina veće osnovice trapeza, $v$ duljina visine trapeza $ABCD$ i $v'$ duljina visine trokuta $\triangle AEF$. Tada je $a=2+5=7$.

Površina trapeza $ABCD$ jednaka je

$$P(ABCD)=\frac{a+3}{2}\cdot v=\frac{7+3}{2}\cdot v=5v,$$

a površina trokuta $\triangle AEF$

$$P(\triangle AEF)=\frac{|AE|\cdot v'}2=\frac{5v'}2.$$

Iz sličnosti trokuta $\triangle ABD$ i $\triangle AEF$ slijedi

$$|AB|:v=|AE|:v' \quad\Longrightarrow\quad v'=\frac57v.$$

Dakle,

$$\frac{P(\triangle AEF)}{P(EBCDF)} =\frac{\frac{5v'}2}{5v-\frac{5v'}2} =\frac{v'}{2v-v'} =\frac{\frac57v}{2v-\frac57v} =\frac{5}{9}.$$

Omjer površine trokuta $\triangle AEF$ i površine peterokuta $EBCDF$ je $5:9$.