6. Zadatak

Riješimo nejednadžbu $|x^2-5x+4|\ge2$. (1)

$$\begin{aligned} |x^2-5x+4|\ge2 &\Longleftrightarrow x^2-5x+4\le-2\ \text{ili}\ x^2-5x+4\ge2\\ &\Longleftrightarrow x^2-5x+6\le0\ \text{ili}\ x^2-5x+2\ge0. \end{aligned}$$

Rješenje nejednadžbe $x^2-5x+6\le0$ u skupu $\mathbb R$ je interval $[2,3]$.

Rješenje nejednadžbe $x^2-5x+2\ge0$ u skupu $\mathbb R$ je unija intervala

$$\left\langle-\infty,\frac{5-\sqrt{17}}2\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{17}}2,\infty\right\rangle.$$

Cjelobrojna rješenja nejednadžbe (1) su svi cijeli brojevi koji su unutar skupa

$$[2,3]\cup\left\langle-\infty,\frac{5-\sqrt{17}}2\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{17}}2,\infty\right\rangle,$$

odnosno unutar skupa

$$A=\{\ldots,-3,-2,-1,0,2,3,5,6,7,\ldots\}.$$

Rješenje nejednadžbe $|x|<2017$ u skupu $\mathbb R$ je interval $\langle-2017,2017\rangle$. Sva cjelobrojna rješenja iz tog intervala su u skupu

$$B=\{-2016,-2015,\ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots,2016\}.$$

Konačno rješenje danog sustava je

$$A\cap B=\{-2016,\ldots,-3,-2,-1,0,2,3,5,6,7,\ldots,2016\}.$$

Broj elemenata tog skupa je

$$2016+1+2016-2=4031.$$

Napomena (grafički postupak). Za rješenje nejednadžbe (1) možemo koristiti grafički prikaz funkcija $y=|x^2-5x+4|$ i $y=2$.

Rješenje u skupu $\mathbb R$ mora biti jasno označeno na $x$ osi. Cjelobrojna rješenja mogu biti ispisana ili samo prebrojana nakon ovog koraka ili nakon rješavanja i druge nejednadžbe. Rješenje druge nejednadžbe te konačno rješenje dobivamo kao i u prvom načinu rješavanja.