5. Zadatak

Neka je $a=4$ cm, $b=7$ cm, $\beta=2\alpha$.

Koristeći poučak o sinusima imamo

$$\frac4{\sin\alpha}=\frac7{\sin2\alpha}$$

iz čega dalje slijedi $4\sin2\alpha=7\sin\alpha$

odnosno $8\sin\alpha\cos\alpha=7\sin\alpha$.

Sinus kuta u trokutu ne može biti jednak nuli, pa je $\cos\alpha=\dfrac78$.

Duljinu treće stranice $c$ odredit ćemo pomoću poučka o kosinusu za stranicu $a$

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$ $$4^2=7^2+c^2-2\cdot7\cdot c\cdot\frac78$$

odakle dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$c^2-\frac{49}{4}c+33=0.$$

Rješenja ove jednadžbe su $c=4$ i $c=\dfrac{33}{4}$.

Međutim, rješenje $c=4$ treba odbaciti jer za trokut sa stranicama $a=c=4$, $b=7$ ne vrijedi $\beta=2\alpha$. Naime, iz $a=c$ tj. $\alpha=\gamma$ i $\beta=2\alpha$ slijedi $\alpha=\gamma=45^\circ$, $\beta=90^\circ$, što očito ne vrijedi u ovom trokutu.

Duljina treće stranice trokuta iznosi $\dfrac{33}{4}=8.25$ cm.