6. Zadatak

Prvo rješenje.

Rješenje zadatka mora zadovoljavati sljedeće uvjete:

$$\sin2x-\frac13\cos x>0,\qquad -\cos x>0.$$

Odatle je $2\sin x\cos x-\dfrac13\cos x>0$, a kako je $\cos x$ negativan, dobivamo $2\sin x-\dfrac13<0$.

Dakle, uvjeti se svode na $\sin x<\dfrac16$, $\cos x<0$.

Logaritme u zadanoj jednakosti prebacimo u bazu 3, a zatim se riješimo logaritama:

$$\frac13\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\frac13+\log_3(-\cos x)$$ $$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=1+3\log_3(-\cos x)$$ $$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\log_3 3+\log_3(-\cos x)^3$$ $$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\log_3(-3\cos^3x)$$ $$\sin2x-\frac13\cos x=-3\cos^3x$$ $$2\sin x\cos x-\frac13\cos x=-3\cos^3x.$$

Sada podijelimo s $\cos x$ ($\cos x\neq0$)

$$2\sin x-\frac13=-3\cos^2x$$ $$2\sin x-\frac13=-3(1-\sin^2x)$$ $$3\sin^2x-2\sin x-\frac83=0.$$

Ovo je kvadratna jednadžba po $\sin x$ s rješenjima $-\dfrac23$ i $\dfrac43$.

Jedino rješenje je $\sin x=-\dfrac23$

a zbog uvjeta je $\cos x=-\sqrt{1-\dfrac49}=-\dfrac{\sqrt5}{3}$.

Drugo rješenje.

Rješenje zadatka mora zadovoljavati sljedeće uvjete:

$$\sin2x-\frac13\cos x>0,\qquad -\cos x>0.$$

Odatle je $2\sin x\cos x-\dfrac13\cos x>0$, a kako je $\cos x$ negativan, dobivamo $2\sin x-\dfrac13<0$.

Dakle, uvjeti se svode na $\sin x<\dfrac16$, $\cos x<0$.

Logaritme u zadanoj jednakosti prebacimo u bazu 3.

$$\frac13\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\frac13+\log_3(-\cos x).$$

Slijedi

$$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=1+3\log_3(-\cos x)$$ $$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)-\log_3(-\cos x)^3=1$$ $$\log_3\frac{\sin2x-\frac13\cos x}{(-\cos x)^3}=1$$ $$\frac{\sin2x-\frac13\cos x}{(-\cos x)^3}=3$$ $$\frac{2\sin x\cos x-\frac13\cos x}{-\cos^3x}=3.$$

Kako je $\cos x\neq0$, slijedi

$$2\sin x\cos x-\frac13\cos x=-3\cos^3x$$ $$2\sin x-\frac13=-3\cos^2x$$ $$2\sin x-\frac13=-3(1-\sin^2x)$$ $$3\sin^2x-2\sin x-\frac83=0.$$

Ovo je kvadratna jednadžba po $\sin x$ s rješenjima $-\dfrac23$ i $\dfrac43$.

Jedino rješenje je $\sin x=-\dfrac23$

a zbog uvjeta je $\cos x=-\sqrt{1-\dfrac49}=-\dfrac{\sqrt5}{3}$.