7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su duljine stranica trokuta $a$, $b$ i $c$, a dani kut od $60^\circ$ zatvaraju stranice s duljinama $a$ i $b$.

Iz formule za površinu trokuta slijedi $P=\dfrac12ab\sin60^\circ=30\sqrt3$ slijedi $ab=120$.

Iz podatka o opsegu dobivamo $o=a+b+c=36$.

Koristimo poučak o kosinusu za stranicu $c$.

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab.$$

Kvadriranjem jednakosti $c=36-(a+b)$ dobivamo

$$c^2=36^2-72(a+b)+(a+b)^2$$

pa je

$$a^2+b^2-ab=36^2-72(a+b)+(a^2+2ab+b^2)$$

odnosno $36^2-72(a+b)+3ab=0$.

Kako je $ab=120$, dobivamo

$$36^2-72(a+b)+360=0$$

pa slijedi $a+b=23$. Dakle $c=36-23=13$.

Iz $ab=120$ i $a+b=23$ slijedi da su, prema Vieteovim formulama, $a$ i $b$ rješenja kvadratne jednadžbe $x^2-23x+120=0$.

To su $a=15$ i $b=8$ (ili obratno).

Stranice igrališta dugačke su 8 m, 13 m i 15 m.

Drugo rješenje.

Neka su duljine stranica trokuta $a$, $b$ i $c$, a dani kut od $60^\circ$ zatvaraju stranice s duljinama $a$ i $b$.

Iz formule za površinu trokuta slijedi $P=\dfrac12ab\sin60^\circ=30\sqrt3$ slijedi $ab=120$.

Iz podatka o opsegu dobivamo $o=a+b+c=36$.

Koristimo poučak o kosinusu za stranicu $c$.

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab$$

Kako je $ab=120$, a $a+b=36-c$, dobivamo

$$c^2=(36-c)^2-360$$

odakle slijedi $c=13$.

Potrebno je još izračunati $a$ i $b$.

Vrijedi $a+b=36-c=36-13=23$ pa jednakost $ab=120$ vodi na $(23-b)b=120$ odnosno na kvadratnu jednadžbu $b^2-23b+120=0$

čija su rješenja $a=15$ i $b=8$ (ili obratno).

Stranice igrališta dugačke su 8 m, 13 m i 15 m.