1. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijenimo svojstvo modula kompleksnog broja $|z|^2=z\cdot\overline z$ na broj $z+w$:

$$\begin{aligned} |z+w|^2&=(z+w)\cdot\overline{(z+w)}=(z+w)(\overline z+\overline w)\\ &=z\cdot\overline z+w\cdot\overline z+z\cdot\overline w+w\cdot\overline w. \end{aligned}$$

Vrijedi $z\cdot\overline z=|z|^2=1$, $w\cdot\overline w=|w|^2=1$ i $|z+w|^2=3$,

pa je $3=1+w\cdot\overline z+z\cdot\overline w+1$, odnosno $w\cdot\overline z+z\cdot\overline w=1$.

Tada je

$$\begin{aligned} |z-w|^2&=(z-w)\cdot\overline{(z-w)}=(z-w)(\overline z-\overline w)\\ &=z\cdot\overline z-w\cdot\overline z-z\cdot\overline w+w\cdot\overline w\\ &=|z|^2-(w\cdot\overline z+z\cdot\overline w)+|w|^2=1-1+1=1. \end{aligned}$$

Stoga je $|z-w|=1$.

Drugo rješenje.

Neka su $a$, $b$, $c$, $d$ realni brojevi takvi da je $z=a+bi$ i $w=c+di$.

Tada je $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$.

Iz $|z+w|=|(a+c)+(b+d)i|=\sqrt3$ slijedi

$$\begin{aligned} (a+c)^2+(b+d)^2&=3\\ a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2&=3\\ (a^2+b^2)+(c^2+d^2)+2ac+2bd&=3\\ 1+1+2ac+2bd&=3\\ 2ac+2bd&=1. \end{aligned}$$

Sada možemo izračunati

$$\begin{aligned} |z-w|&=|(a+bi)-(c+di)|=|(a-c)+(b-d)i|\\ &=\sqrt{a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}\\ &=\sqrt{(a^2+b^2)+(c^2+d^2)-(2ac+2bd)}\\ &=\sqrt{1+1-1}=1. \end{aligned}$$