4. Zadatak

Iz kvadratne mreže izrezan je krug sa središtem u točki $O$ polumjera 4 cm prikazan na slici.

Ako je $|OA|=2$ cm, izračunajte ukupnu površinu osjenčanih dijelova kruga.

Krug polumjera 4 cm u kvadratnoj mreži s četiri osjenčana dijela

Pomoćni crtež kružnog isječka OCD i trokuta ECD

Površinu jednog osjenčanog dijela računamo tako da od površine kružnog isječka $OCD$ oduzmemo površinu trokuta $OCD$ i pridodamo površinu trokuta $ECD$ .

Pravokutni trokuti $OAD$ i $CBO$ su sukladni (SSK) i vrijedi:

\sin\alpha=\frac24=0.5, \qquad \alpha=30^\circ, \qquad \beta=60^\circ, \qquad \angle COD=\angle AOD-\angle BOC=\beta-\alpha=30^\circ.

Prema Pitagorinom poučku je $(2+x)^2+2^2=4^2$ , odnosno $x=2\sqrt3-2$ .

Površina kružnog isječka $OCD$ jednaka je

P_i=\frac{r^2\pi}{12}=\frac{4\pi}{3}\text{ cm}^2.

Površina trokuta $OCD$ jednaka je

P_{OCD}=\frac12\cdot4^2\sin30^\circ=4\text{ cm}^2.

Površina trokuta $ECD$ jednaka je

P_{ECD}=\frac12x^2=\frac{(2\sqrt3-2)^2}{2}=(8-4\sqrt3)\text{ cm}^2.

Tražena površina jednaka je

P=4(P_i-P_{OCD}+P_{ECD}) =4\left(\frac{4\pi}{3}-4+8-4\sqrt3\right) =\left(\frac{16\pi}{3}+16-16\sqrt3\right)\text{ cm}^2.

Napomena: Površina trokuta $OCD$ se može izračunati i bez formule $P=\frac12ab\sin\gamma$ :

\begin{aligned} P &=\frac{|CD|\cdot v_{|CD|}}{2} =\frac{x\sqrt2}{2}\sqrt{4^2-\left(\frac{x\sqrt2}{2}\right)^2}\\ &=\frac{(2\sqrt3-2)\sqrt2}{2}\sqrt{16-\frac12(2\sqrt3-2)^2}\\ &=(\sqrt6-\sqrt2)\sqrt{8+4\sqrt3}\\ &=\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2(8+4\sqrt3)}\\ &=\sqrt{(8-4\sqrt3)(8+4\sqrt3)}=4. \end{aligned}