3. Zadatak

Neka su traženi brojevi $x$ i $y$, $x>y$. Budući da su djeljivi sa 4, vrijedi $x=4a$, $y=4b$, za neke prirodne brojeve $a$ i $b$, $a>b$.

Prema uvjetu zadatka, vrijedi

$$(4a)^3-(4b)^3=64(a^3-b^3)=64\cdot91k, \qquad k\in\mathbb{N}.$$

Kako broj mora biti četveroznamenkasti, a $64\cdot91=5824$ slijedi $k=1$.

Tada je $a^3-b^3=91$ odnosno $(a-b)(a^2+ab+b^2)=7\cdot13$.

Vrijedi $a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab>(a-b)^2>a-b$ za $a-b>1$. Dakle faktor $a-b$ mora biti manji od faktora $a^2+ab+b^2$ pa je dovoljno riješiti ove sustave jednadžbi:

$$\begin{aligned} (1)\qquad &a-b=1, & a^2+ab+b^2&=91;\\ (2)\qquad &a-b=7, & a^2+ab+b^2&=13. \end{aligned}$$

Rješavanjem sustava (1) dobivamo jednadžbu $b^2+b-30=0$ kojoj je pozitivno rješenje $b=5$. Tada je $a=6$.

Rješavanjem sustava (2) dobivamo jednadžbu $b^2+7b+12=0$ koja nema pozitivnih rješenja.

Dakle, traženi brojevi su $x=4\cdot6=24$ i $y=4\cdot5=20$.