5. Zadatak

Neka je na turniru sudjelovalo $x$ učenika drugog razreda i neka je svaki od njih skupio $y$ bodova. Tada je ukupan broj bodova koje su skupili učenici i prvog i drugog razreda $xy+7$. Kako na turniru sudjeluje $x+3$ učenika to je zbroj osvojenih bodova

$$\frac{(x+3)(x+2)}{2}.$$

Tada vrijedi

$$\begin{aligned} xy+7&=\frac{(x+3)(x+2)}{2}\\ 2xy+14&=(x+3)(x+2)\\ 2y&=x+5-\frac{8}{x}. \end{aligned}$$

Kako su $x,2y\in\mathbb{N}$, slijedi $x\in\{2,4,8\}$. Na turniru su bila 2 ili 4 ili 8 učenika drugog razreda.

Pokažimo da su dobivena rješenja moguća. Označimo učenike prvog razreda s $A$, $B$ i $C$, a učenike drugog razreda s $1,2,\ldots$. Za svako pojedino rješenje ishodi partija dani su odgovarajućim dijelom sljedeće tablice (za $x=2$ promatramo gornju lijevu $5\times5$ tablicu, za $x=4$ promatramo gornju lijevu $7\times7$ tablicu i za $x=8$ promatramo cijelu $11\times11$ tablicu). Broj u retku s oznakom $r$ i stupcu s oznakom $s$ označava bodove koje je $r$ osvojio u partiji sa $s$.

	A	B	C	1	2	3	4	5	6	7	8
A	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0
B	1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0
C	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	$\frac12$	1	1	1	1	0	$\frac12$
2	1	0	0	$\frac12$	0	1	1	1	0	$\frac12$	1
3	1	1	1	0	0	0	$\frac12$	0	$\frac12$	1	1
4	1	1	1	0	0	$\frac12$	0	$\frac12$	1	1	0
5	1	1	1	0	0	1	$\frac12$	0	1	0	$\frac12$
6	1	1	1	0	1	$\frac12$	0	0	0	$\frac12$	1
7	1	1	1	1	$\frac12$	0	0	1	$\frac12$	0	0
8	1	1	1	$\frac12$	0	0	1	$\frac12$	0	1	0