4. Zadatak

Razlikujemo dva slučaja – trokut može imati jedan ili dva kuta od $36^\circ$.

Prvi slučaj. Neka je Maro izabrao jednakokračan trokut kojemu je mjera kuta nasuprot osnovice $36^\circ$ i označio njegove vrhove s $A$, $B$, $C$. Označimo s $x$ kut od $36^\circ$.

Povučemo li simetralu kuta pri vrhu $A$ uz osnovicu, dobit ćemo trokut $\triangle ABD$ koji je sličan zadanom trokutu $\triangle ABC$ (poučak K-K). Pišemo $b:a=a:(b-a)$, a odatle je

$$a^2=b^2-ab.$$

(Ova se jednakost može dobiti i pomoću poučka o simetrali kuta.)

Iz pravokutnog trokuta $\triangle CDE$ dobivamo

$$\cos x=\frac{\frac b2}{a},\qquad\text{odnosno}\qquad b=2a\cos x.$$

Sada je

$$a^2=(2a\cos x)^2-a(2a\cos x).$$

Dobivamo kvadratnu jednadžbu $4\cos^2x-2\cos x-1=0$. Njezino pozitivno rješenje je

$$\cos x=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

Drugi slučaj. Maro je mogao izabrati i jednakokračan trokut $ABC$ u kojemu su dva kuta $36^\circ$. Tada je kut nasuprot osnovice dužinama $CE$ i $CD$ podijeljen na tri kuta po $36^\circ$. Uočimo trokut $\triangle AEC$. To je jednakokračan trokut s jednim kutom od $36^\circ$ pa smo zadatak sveli na prethodni slučaj.