6. Zadatak

Krivulja

$$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$$

je elipsa i vrijedi $a^2=2$, $b^2=1$. Koristeći uvjet dodira $a^2k^2+b^2=l^2$ pravca i elipse, dobivamo

$$2k^2+1=l^2.\tag{*}$$

Krivulja

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$

je hiperbola i vrijedi $a^2=9$, $b^2=4$. Koristeći uvjet dodira $a^2k^2-b^2=l^2$ pravca i hiperbole dobivamo

$$9k^2-4=l^2.\tag{**}$$

Iz sustava što ga čine jednadžbe (*) i (**) dobivamo rješenja:

$$k_{1,2}=\pm\sqrt{\frac57}, \qquad l_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{17}{7}}.$$

Jednadžbe zajedničkih tangenti su

$$t_{1,2,3,4}:\quad y=\pm\sqrt{\frac57}\,x\pm\sqrt{\frac{17}{7}},$$

odnosno

$$y=\pm\sqrt{\frac57}\,x\mp\sqrt{\frac{17}{7}}.$$

Izračunajmo njihove odsječke na koordinatnim osima.

Na osi $x$, za $y=0$, dobivamo

$$x_{1,2}=\mp\sqrt{\frac{17}{5}}, \qquad d_1=x_2-x_1=2\sqrt{\frac{17}{5}}.$$

Na osi $y$, za $x=0$, dobivamo

$$y_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{17}{7}}, \qquad d_2=y_2-y_1=2\sqrt{\frac{17}{7}}.$$

Tada je tražena površina

$$P=\frac12d_1d_2 =\frac12\cdot2\sqrt{\frac{17}{5}}\cdot2\sqrt{\frac{17}{7}} =\frac{34\sqrt{35}}{35}.$$