7. Zadatak

Zadanu jednakost dokažimo matematičkom indukcijom.

Provjerimo tvrdnju za $n=1$:

$$1-\frac12=\frac1{1+1}\quad\Longrightarrow\quad\frac12=\frac12.$$

Baza indukcije je zadovoljena.

Pretpostavimo da zadana jednakost vrijedi za neki proizvoljan prirodni broj $n$ te dokažimo da vrijedi i za njegovog sljedbenika $n+1$.

Treba dokazati da je

$$\begin{aligned} 1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n} +\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2} &=\frac1{n+2}+\frac1{n+3}+\cdots+\frac1{2n}\\ &\quad+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}. \end{aligned}$$

Krenimo od lijeve strane gornje jednakosti i primijenimo na ovaj izraz pretpostavku indukcije:

$$\begin{aligned} &\left(1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n}\right) +\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\ &=\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right) +\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\ &=\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}+\frac1{2n+1} +\left(\frac1{n+1}-\frac1{2n+2}\right)\\ &=\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}. \end{aligned}$$

Time smo pokazali da tvrdnja vrijedi za $n+1$, a tada i za svaki prirodni broj $n$.