4. Zadatak

Uvjeti na rješenje jednadžbe su $x\neq0$, $x\neq-1$.

Postupnim računanjem pojednostavnit ćemo nazivnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe. Slijedi redom:

$$\frac{a}{1-\frac1{1+\frac1x}}=2023x,$$ $$\frac{a}{1-\frac1{\frac{x+1}{x}}}=2023x,$$ $$\frac{a}{1-\frac{x}{x+1}}=2023x,$$ $$\frac{a}{\frac{x+1-x}{x+1}}=2023x,$$

odnosno $a(x+1)=2023x$.

Tada je $ax+a=2023x$, odnosno

$$x(2023-a)=a.$$

Za $a=2023$ ova jednadžba prelazi u $0\cdot x=2023$ pa jednadžba nema rješenja.

Za $a\neq2023$ rješenje početne jednadžbe jest

$$x=\frac{a}{2023-a},\tag{*}$$

ali početna jednadžba neće imati rješenje i ako dobiveno rješenje $x$ ne zadovoljava početne uvjete.

Broj $a$ za koji se to može dogoditi dobit ćemo ako u (*) uvrstimo $x=0$ i $x=-1$. U prvom slučaju dobivamo $a=0$, a drugi je slučaj nemoguć.

Dakle, dana jednadžba neće imati rješenje ako je $a=0$ i ako je $a=2023$.