6. Zadatak

Broj je djeljiv s $10$ ako i samo ako mu je zadnja znamenka $0$. Kako bismo odredili zadnju znamenku zbroja potencija $3^m+7^n$, promotrit ćemo zadnju znamenku potencije $3^m$, odnosno $7^n$.

Zadnja znamenka potencije $3^m$ može biti $3$, $9$, $7$ ili $1$ i ponavlja se ciklički tim redoslijedom. Dakle, ako eksponent $m$ pri dijeljenju sa $4$ daje ostatak $1$, zadnja znamenka potencije $3^m$ jest $3$. Ako je taj ostatak $2$, zadnja je znamenka $9$. Ako je ostatak $3$, zadnja je znamenka $7$ i ako je $m$ djeljiv sa $4$, zadnja je znamenka $1$.

Među svim brojevima $m$, $1\leq m\leq80$ ima točno:

• $\frac{77-1}{4}+1=20$ onih koji pri dijeljenju sa $4$ daju ostatak $1$: $1,5,\ldots,77$;
• $20$ koji daju ostatak $2$: $2,6,\ldots,78$;
• $20$ koji daju ostatak $3$: $3,7,\ldots,79$;
• $20$ koji su djeljivi sa $4$.

Analogno prethodnim razmatranjima, zadnja znamenke potencije $7^n$ je $7$ ako eksponent $n$ pri dijeljenju sa $4$ daje ostatak $1$, $9$ ako je taj ostatak $2$, $3$ ako je ostatak $3$ i $1$ ako je $n$ djeljiv sa $4$.

Među svim brojevima $n$, $81\leq n\leq185$ ima točno:

• $\frac{185-81}{4}+1=27$ onih koji pri dijeljenju sa $4$ daju ostatak $1$: $81,85,\ldots,181,185$;
• $26$ onih koji daju ostatak $2$: $82,86,\ldots,182$;
• $26$ onih koji daju ostatak $3$: $83,87,\ldots,183$;
• $26$ onih koji su djeljivi sa $4$: $84,88,\ldots,180,184$.

Traženi zbroj $3^m+7^n$ će imati zadnju znamenku $0$ odnosno biti djeljiv s $10$ u jednom od sljedeća četiri slučaja:

• Potencija $3^m$ ima zadnju znamenku $3$ i potencija $7^n$ zadnju znamenku $7$. Prema prethodnim razmatranjima ima $20$ mogućnosti odabira broja $m$ i $27$ mogućnosti odabira broja $n$, pa je u ovom slučaju ukupno $20\cdot27=540$ uređenih parova $(m,n)$.
• Potencija $3^m$ ima zadnju znamenku $9$ i potencija $7^n$ zadnju znamenku $1$. Takvih je parova $(m,n)$ ukupno $20\cdot26=520$.
• Potencija $3^m$ ima zadnju znamenku $7$ i potencija $7^n$ zadnju znamenku $3$. Takvih je parova $(m,n)$ ukupno $20\cdot26=520$.
• Potencija $3^m$ ima zadnju znamenku $1$ i potencija $7^n$ zadnju znamenku $9$. Takvih je parova $(m,n)$ ukupno $20\cdot26=520$.

Konačno, ukupan broj traženih uređenih parova jednak je

$$20\cdot27+3\cdot20\cdot26=540+3\cdot520=2100.$$