7. Zadatak

Prvo rješenje.

U vrhu $C$, četverokuta $ABCD$, povučemo paralelu sa stranicom $AD$. Zatim u točki $E$, u kojoj ta paralela siječe stranicu $AB$, povučemo paralelu sa stranicom $CD$. Točku u kojoj ta paralela siječe stranicu $AD$ označimo s $G$. Time smo četverokut $ABCD$ podijelili na pravokutnik $GECD$, jednakostraničan trokut $EBC$ te pravokutni trokut $AEG$, kao na slici.

Uz oznake kao na slici, iz pravokutnog trokuta $AEG$, slijedi

$$\cos60^\circ=\frac{4-b}{6-b},$$

odnosno $b=2\ \mathrm{cm}$.

Tada je $|AG|=4-2=2\ \mathrm{cm}$, $|AE|=6-2=4\ \mathrm{cm}$,

$$|DC|=|GE|=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

Duljinu dijagonale $AC$ računamo koristeći Pitagorin poučak za trokut $ACD$:

$$|AC|=2\sqrt7\ \mathrm{cm}.$$

Duljinu dijagonale $BD$ računamo iz pravokutnog trokuta $NBD$, gdje je točka $N$ nožište okomice povučene iz vrha $D$ na stranicu $AB$.

Iz pravokutnog trokuta $AND$ imamo redom:

$$|DN|=4\sin60^\circ=2\sqrt3\ \mathrm{cm},\qquad |AN|=4\cos60^\circ=2\ \mathrm{cm}.$$

Tada je $|NB|=6-2=4\ \mathrm{cm}$, a

$$|BD|=\sqrt{|DN|^2+|NB|^2}=\sqrt{28}=2\sqrt7\ \mathrm{cm}.$$

Površinu danog četverokuta možemo računati kao zbroj površina pravokutnika $GECD$, trokuta $EBC$ i trokuta $AEG$.

$$P=P_{AEG}+P_{EBC}+P_{GECD}=\frac{2\cdot2\sqrt3}{2}+\frac{4\sqrt3}{4}+2\cdot2\sqrt3=7\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Produžimo stranice $AD$ i $BC$ preko vrhova $D$ i $C$ tako da se sijeku u točki $F$, vrhu trokuta $ABF$.

Dobiveni trokut $ABF$ je jednakostraničan trokut.

Kako je $|DF|=2\ \mathrm{cm}$, a $\angle DFC=60^\circ$ iz pravokutnog trokuta $FDC$ slijedi da je

$$|DC|=2\cdot\operatorname{tg}60^\circ=2\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

Tada duljinu dijagonale $AC$ računamo iz pravokutnog trokuta $ADC$ s pomoću Pitagorina poučka.

$$|AC|=\sqrt{|AD|^2+|DC|^2}=\sqrt{16+12}=2\sqrt7\ \mathrm{cm}.$$

Duljinu dijagonale $BD$ računamo iz pravokutnog trokuta $NBD$, gdje je točka $N$ nožište okomice povučene iz vrha $D$ na stranicu $AB$.

Iz pravokutnog trokuta $AND$ imamo redom:

$$|DN|=4\sin60^\circ=2\sqrt3\ \mathrm{cm},\qquad |AN|=4\cos60^\circ=2\ \mathrm{cm}.$$

Tada je $|NB|=6-2=4\ \mathrm{cm}$, a

$$|BD|=\sqrt{|DN|^2+|NB|^2}=\sqrt{28}=2\sqrt7\ \mathrm{cm}.$$

Površina danog četverokuta je razlika površina trokuta $ABF$ i trokuta $FDC$:

$$P=P_{ABF}-P_{FDC}=\frac{6^2\sqrt3}{4}-\frac{2\cdot2\sqrt3}{2}=7\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$$