3. Zadatak

Ako brojevi $m$ i $n$ postoje, vrijedi

$$\frac{1\cdot2\cdot3\cdots m}{1\cdot2\cdot3\cdots n}=24024.$$

Da bi se ovaj razlomak mogao skratiti mora biti $m>n$. Stoga je

$$\frac{1\cdot2\cdot3\cdots n\cdot(n+1)(n+2)\cdots m}{1\cdot2\cdot3\cdots n}=24024$$

ili nakon skraćivanja

$$(n+1)(n+2)\cdots m=24024.$$

Zaključujemo da je traženi zapis moguć ako se broj $24024$ može zapisati kao umnožak uzastopnih prirodnih brojeva.

Rastav broja $24024$ na proste faktore jest

$$24024=2^3\cdot3\cdot7\cdot11\cdot13.$$

Rasporedimo dobivene faktore na sljedeći način:

$$2^2\cdot3\cdot2\cdot7\cdot11\cdot13=11\cdot12\cdot13\cdot14.$$

Zaključujemo da se broj $24024$ može se zapisati kao umnožak uzastopnih brojeva $11$, $12$, $13$ te $14$, odnosno

$$24024=\frac{14!}{10!}.$$