2. Zadatak

Neka tražena kružnica $k$ ima središte u točki $S(p,q)$ i polumjer $r$. Budući da kružnica $k$ dira zadani pravac i os $x$, njezino je središte od zadanog pravca i osi $x$ udaljeno za $r$ te se nalazi na simetrali kuta $\varphi=\angle AOB$ kojeg zadani pravac zatvara s pozitivnim smjerom osi $x$.

Kako je $\operatorname{tg}\varphi=\sqrt3$, $\varphi=60^\circ$, slijedi da je

$$\operatorname{tg}\frac\varphi2=\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}=\frac qp. \tag{$\star$}$$

Zbog uvjeta da kružnica $k$ dira zadanu kružnicu

$$(x-10\sqrt3)^2+(y-10)^2=25$$

vrijedi da je $|S_1S|=r+5$, odnosno

$$(10\sqrt3-p)^2+(10-q)^2=(r+5)^2.$$

Kako je $q=r$ i zbog $(\star)$ je $p=\sqrt3q$, prethodna jednakost prelazi u jednadžbu s jednom nepoznanicom. Slijedi redom:

$$(10\sqrt3-\sqrt3q)^2+(10-q)^2=(q+5)^2$$ $$4(10-q)^2=(q+5)^2.$$

Tada je

$$2(10-q)=q+5$$

ili

$$2(10-q)=-q-5,$$

odnosno $q_1=5$ i $q_2=25$.

Tada je $p_1=5\sqrt3$ i $p_2=25\sqrt3$.

Dakle, tražena kružnica može imati središte u točki $S_1(5\sqrt3,5)$ i polumjer $r_1=5$ ili u točki $S_2(25\sqrt3,25)$ i polumjer $r_2=25$.